Questão 4: Veja o seguinte exemplo:
Sabendo que o resto da divisão de um número b por 5 é 3 determine o resto da divisão por 5 do número 3 b+5.
Solução: Temos que b=5 a+3. Queremos saber o resto da divisão de 3 b+5, por 5 isto é
3 b+5=5 c+r, onde r=0,1,2,3 ou 4 de b=5 a+3 Rightarrow 3 b=15 a+9
e de r=3 b+5-5 c Rightarrow r=15 a+9+5(1-c) Rightarrow r=5(3 a+1-c)+9 Rightarrow r-9=5(3 a+1-c)
Logo, 5 mid r-9. Substituindo os possíveis valores de r teremos:
ll r=0 & 5 nmid-9 r=1 & 5 nmid 1-9=-8 r=2 & 5 nmid 2-9=-7 r=3 & 5 nmid 3-9=-6 r=4 & 5 mid 4-9=-5
Portanto, o único valor que satisfaz é r=4, sendo este o resto procurado.
Agora, resolva o seguinte exercício: Sabendo que o resto da divisão de um inteiro b por 6 é 5, calcular o resto da divisão por 6 dos seguintes números:
10 b+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão diz que quando dividimos um número inteiro b por 6, o resto é 5. O nosso objetivo aqui é encontrar qual será o resto da divisão do número 10b + 1 por 6. Para resolver isso, vamos usar conceitos de aritmética modular, que nos ajudam a entender os restos das divisões.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar b em termos de divisão por 6. Se o resto da divisão de b por 6 é 5, podemos escrever:
b = 6k + 5
onde k é algum número inteiro.

Passo 3

Agora, vamos substituir essa expressão de b na expressão que queremos descobrir o resto, que é 10b + 1 :
10b + 1 = 10(6k + 5) + 1

Passo 4

Vamos distribuir o 10 dentro dos parênteses:
10b + 1 = 60k + 50 + 1
10b + 1 = 60k + 51

Passo 5

Queremos saber o resto da divisão dessa expressão por 6. Observamos que 60k é múltiplo de 6, já que 60 = 6 times 10 . Portanto, quando dividimos 60k por 6, o resto é 0.
Então, fica:
60k + 51 = 6 times 10k + 51
O termo 6 times 10k tem resto 0, então o resto total dependerá apenas do resto de 51 dividido por 6.

Passo 6

Agora, vamos dividir 51 por 6:
51 div 6 = 8 com resto 3
Porque 6 times 8 = 48 e 51 - 48 = 3 .

Passo 7

Portanto, o resto da divisão de 10b + 1 por 6 é 3.

Resposta

O resto da divisão de 10b + 1 por 6 é 3.

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