Encontre os limites reescrevendo primeiro as frações.
lim (x, y, z) (1,-1,-1) 2 x y+y zx^2+z^2

Passo 1

O enunciado pede
lim(x,y,z)to(1,-1,-1) 2xy + yzx^2 + z^2
Isso faz parte do conteúdo de limites de funções de várias variáveis. Como temos uma razão de polinômios, podemos usar a continuidade dessas funções, desde que o denominador não zere no ponto.

Passo 2

Definimos
f(x,y,z) = 2xy + yz, g(x,z) = x^2 + z^2
Ambas são polinomiais (logo contínuas) e
g(1,-1) = 1^2 + (-1)^2 = 2 neq 0
Portanto
lim(x,y,z)to(1,-1,-1) f(x,y,z)g(x,z) = lim(x,y,z)to(1,-1,-1) f(x,y,z)lim(x,y,z)to(1,-1,-1) g(x,z)

Passo 3

Calculamos separadamente:
No numerador,
2cdot1cdot(-1) + (-1)cdot(-1) = -2 + 1 = -1
No denominador,
1^2 + (-1)^2 = 1 + 1 = 2

Resposta

-tfrac12

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