Calcule as seguintes integrais
integral(x^7+2) cdot raizx^8+8 x^2+5 d x

Passo 1

O problema pede para calcular a integral
I = integral l(x^7 + 2r),raizx^8 + 8x^2 + 5;dx
O conteúdo envolvido é tentativa de substituição u = x^8+8x^2+5, visto que dentro da raiz aparece um polinômio de grau 8.

Passo 2

Fazendo a troca de variável
u = x^8 + 8x^2 + 5 Longrightarrow du = l(8x^7 + 16xr),dx =8l(x^7+2xr),dx
Logo
(x^7+2x),dx = du8
Mas nosso integrando é (x^7+2)raizu,dx, não (x^7+2x)raizu,dx.

Passo 3

Se tentarmos reescrever
(x^7+2),dx = (x^7+2x),dx + (2-2x),dx
ainda sobra o termo integral (2-2x)raizu,dx, que não se reduz a uma forma puramente em u. Isso mostra que a simples substituição não elimina a dependência em x fora de u.

Passo 4

Como sob a raiz temos um polinômio de grau 8, o procedimento padrão (substituição, partes, fatoração) não leva a uma primitiva elementar. Integrais da forma
integral raizP(x),dx com (deg P>= 5)
são, em geral, expressas por funções elípticas ou hiperbólicas de ordem superior.

Resposta

Não existe primitiva em termos de funções elementares. A antiderivada deve ser expressa usando funções elípticas (ou hiperbarr’{a}ticas) apropriadas.

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