Determine o valor de a e b para que a função f(x)=a x^3+b x^2 tenha um ponto de inflexão em (1,3).

Passo 1

O enunciado pede determinar a e b tais que a função
f(x)=a x^3+b x^2
tenha um ponto de inflexão em (1,3). Vamos usar dois fatos:
  1. Para que o ponto pertença ao gráfico, vale f(1)=3.
  2. Para ter ponto de inflexão em x=1, a segunda derivada deve anular em x=1, ou seja, f''(1)=0.

Passo 2

Garantir que (1,3) esteja na curva exige
f(1)=acdot1^3+bcdot1^2=a+b=3

Passo 3

Calculemos as derivadas:
f'(x)=3a,x^2+2b,x,
f''(x)=6a,x+2b
Para inflexão em x=1 precisamos de
f''(1)=6a+2b=0 Longrightarrow 3a+b=0

Passo 4

Resolvendo o sistema
a+b=3, 3a+b=0,
subtraímos a primeira equação da segunda:
(3a+b)-(a+b)=0-3 Longrightarrow 2a=-3 Longrightarrow a=-tfrac32
Então
b=3 - a=3-(-tfrac32)=tfrac92

Resposta

a=-tfrac32, b=tfrac92.

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