Determine o domínio e a imagem das funções a seguir.
f(x, y)=1-xy^2-x^2;

Passo 1

O enunciado pede para determinar o domínio e a imagem da função de duas variáveis
f(x,y)=1-xy^2-x^2
Vamos precisar de noções de domínio de funções de várias variáveis (evitar divisão por zero) e de análise do conjunto de valores que f pode assumir (imagem).

Passo 2

Para o domínio, devemos ter o denominador diferente de zero:
y^2-x^2neq 0 Long<=ftrightarrow (y-x)(y+x)neq 0 Long<=ftrightarrow yneq x, yneq -x
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Dom(f)=l(x,y)inR^2mid yneq x e yneq -xr

Passo 3

Para a imagem, mostramos que qualquer valor real k é atingido por f:
  1. Se k=0, basta escolher x=1 e qualquer y tal que yneq pm1. Então 1-x=0 e f(1,y)=0.
  2. Se k>0, escolha por exemplo x=0. Então f(0,y)=1y^2, yneq 0, e variando y em Rsetminus0 temos f(0,y) em (0,infty).
  3. Se k<0, escolha por exemplo x=2. Então f(2,y)=1-2y^2-4=-1y^2-4, para lvert yrvert>2 temos y^2-4>0 e assim f(2,y) percorre todo (-infty,0) quando y varia em (-infty,-2)cup(2,infty).
Com isso, vemos que quaisquer kinR é obtido por algum par (x,y) em domínio. Portanto
Im(f)=R

Resposta

Domínio: (x,y)inR^2mid yneq x,;yneq -x
Imagem: R

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