Determine o domínio e a imagem das funções a seguir.
f(x, y)=raizx^2+y;

Passo 1

O enunciado pede o domínio e a imagem da função fcolon R^2toR dada por
f(x,y)=raizx^2+y
Para isso vamos usar (i) a condição de existência da raiz (radicando não negativo) e (ii) as propriedades da função raiz quadrada.

Passo 2

Para existir raizx^2+y no conjunto dos reais, é necessário e suficiente que
x^2 + y >= 0,
isto é,
y >= -x^2
Logo o domínio é
Dom(f)=(x,y)inR^2mid y>= -x^2

Passo 3

A função raizcdot só produz valores em [0,infty). Para mostrar que toda t>= 0 é atingida, escolha (x,y)=(0,t^2). Como t^2>= 0, esse ponto está no domínio e
f(0,t^2)=raiz0+t^2=t
Assim a imagem é
Im(f)=[0,infty)

Resposta

Domínio: (x,y)inR^2mid y>= -x^2
Imagem: [0,infty)

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