Determine o menor valor de c para que a função
f(x)=e^xx-5
seja convexa no intervalo ilimitado (c,+infty).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar o menor valor de c tal que a função
f(x) = e^xx - 5
seja convexa no intervalo ilimitado (c, +infty) . Para resolver isso, vamos trabalhar com o conceito de concavidade e convexidade de funções, que envolve o uso das derivadas. Precisaremos calcular as primeiras e segundas derivadas da função para analisar a convexidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser convexa. Uma função é convexa em um intervalo se a sua segunda derivada for positiva nesse intervalo. Então, nosso objetivo é encontrar a segunda derivada de f(x) e determinar para quais valores de x ela é positiva.

Passo 3

Vamos começar calculando a primeira derivada de f(x) . A função é uma divisão envolvendo uma exponencial, então usaremos a regra do quociente:
f'(x) = (e^x)'(x - 5) - e^x(x - 5)'(x - 5)^2
Calculando as derivadas:
(e^x)' = e^x
(x - 5)' = 1
Substituindo:
f'(x) = e^x(x - 5) - e^x(1)(x - 5)^2 = e^x(x - 6)(x - 5)^2

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada f''(x) . Novamente, usaremos a regra do quociente para derivar f'(x) :
f''(x) = [e^x(x - 6)]'(x - 5)^2 - e^x(x - 6) cdot 2(x - 5)(x - 5)^4
Calculando as derivadas:
[e^x(x - 6)]' = e^x(x - 6) + e^x(1) = e^x(x - 5)
Substituindo de volta:
f''(x) = e^x(x - 5)(x - 5)^2 - e^x(x - 6) cdot 2(x - 5)(x - 5)^4
Simplificando:
f''(x) = e^x(x - 5)^3 - 2e^x(x - 6)(x - 5)(x - 5)^4 = e^x[(x - 5)^3 - 2(x - 6)(x - 5)](x - 5)^4

Passo 5

Vamos simplificar o numerador:
(x - 5)^3 - 2(x - 6)(x - 5) = (x - 5)^2[(x - 5) - 2(x - 6)]
Calculando dentro dos colchetes:
(x - 5) - 2(x - 6) = x - 5 - 2x + 12 = -x + 7
Então:
(x - 5)^3 - 2(x - 6)(x - 5) = (x - 5)^2(-x + 7) = - (x - 5)^2(x - 7)
Substituindo de volta na expressão da segunda derivada:
f''(x) = e^x cdot [ - (x - 5)^2(x - 7)](x - 5)^4 = -e^x(x - 7)(x - 5)^2

Passo 6

Agora temos a segunda derivada:
f''(x) = -e^x(x - 7)(x - 5)^2
Queremos que f''(x) > 0 para que a função seja convexa. Então:
-e^x(x - 7)(x - 5)^2 > 0
Como e^x e (x - 5)^2 são sempre positivos (exceto quando x = 5 , mas o denominador não pode ser zero), a inequação fica:
-(x - 7) > 0 implies x - 7 < 0 implies x < 7

Passo 7

Mas a função é definida apenas para x > 5 (já que x = 5 faz o denominador zero). Então, a convexidade ocorre quando 5 < x < 7 .
No entanto, a questão pede o intervalo (c, +infty) onde a função é convexa. Observamos que a convexidade ocorre até x = 7 , e para x > 7 , a segunda derivada f''(x) se torna negativa, indicando concavidade.
Portanto, não há um intervalo (c, +infty) onde a função é convexa para c < 7 . A função é convexa apenas em (5, 7) .

Resposta

O menor valor de c é c = 7 , de modo que a função f(x) = e^xx - 5 é convexa no intervalo (7, +infty) .

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