Determine o menor valor de
para que a função
seja convexa no intervalo ilimitado
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar o menor valor de
tal que a função
seja convexa no intervalo ilimitado
. Para resolver isso, vamos trabalhar com o conceito de concavidade e convexidade de funções, que envolve o uso das derivadas. Precisaremos calcular as primeiras e segundas derivadas da função para analisar a convexidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser convexa. Uma função é convexa em um intervalo se a sua segunda derivada for positiva nesse intervalo. Então, nosso objetivo é encontrar a segunda derivada de
e determinar para quais valores de
ela é positiva.
Passo 3
Vamos começar calculando a primeira derivada de
. A função é uma divisão envolvendo uma exponencial, então usaremos a regra do quociente:
Calculando as derivadas:
Substituindo:
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda derivada
. Novamente, usaremos a regra do quociente para derivar
:
Calculando as derivadas:
Substituindo de volta:
Simplificando:
Passo 5
Vamos simplificar o numerador:
Calculando dentro dos colchetes:
Então:
Substituindo de volta na expressão da segunda derivada:
Passo 6
Agora temos a segunda derivada:
Queremos que
para que a função seja convexa. Então:
Como
e
são sempre positivos (exceto quando
, mas o denominador não pode ser zero), a inequação fica:
Passo 7
Mas a função é definida apenas para
(já que
faz o denominador zero). Então, a convexidade ocorre quando
.
No entanto, a questão pede o intervalo
onde a função é convexa. Observamos que a convexidade ocorre até
, e para
, a segunda derivada
se torna negativa, indicando concavidade.
Portanto, não há um intervalo
onde a função é convexa para
. A função é convexa apenas em
.
Resposta
O menor valor de
é
, de modo que a função
é convexa no intervalo
.