Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral definida de no intervalo de 0 a 7. Isso está na área de Cálculo Integral, especificamente lidando com integrais que envolvem funções radicais. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de substituição, que ajuda a simplificar integrais mais complicadas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz. Vamos fazer uma substituição para facilitar o cálculo. Seja . Essa mudança nos ajuda a transformar a integral em algo mais fácil de integrar.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o diferencial de em relação a . Diferenciando ambos os lados em relação a :
Passo 4
Também precisamos ajustar os limites de integração de acordo com nossa substituição. Quando :
E quando :
Então, nossa nova integral fica de 4 a 25.
Passo 5
Substituindo e na integral original:
Passo 6
Agora, vamos integrar . A regra geral para integrar potências de é:
Aqui, , então:
Passo 7
Aplicando isso à nossa integral:
Passo 8
Agora, calculamos u^3/2 nos limites:
Para u = 25 :
25^3/2 = (25)^1 cdot (25)^1/2 = 25 cdot 5 = 125
Para u = 4 :
4^3/2 = (4)^1 cdot (4)^1/2 = 4 cdot 2 = 8
Passo 9
Substituindo esses valores na expressão:
29 (125 - 8) = 29 times 117 = 2349 = 26
Resposta
A integral definida de raiz4 + 3x de 0 a 7 é igual a 26.