Calcule as seguintes integrais:
integral0^7 raiz4+3 x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral definida de raiz4 + 3x no intervalo de 0 a 7. Isso está na área de Cálculo Integral, especificamente lidando com integrais que envolvem funções radicais. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de substituição, que ajuda a simplificar integrais mais complicadas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz. Vamos fazer uma substituição para facilitar o cálculo. Seja u = 4 + 3x . Essa mudança nos ajuda a transformar a integral em algo mais fácil de integrar.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o diferencial de u em relação a x . Diferenciando ambos os lados em relação a x :
dudx = 3 Rightarrow dx = du3

Passo 4

Também precisamos ajustar os limites de integração de acordo com nossa substituição. Quando x = 0 :
u = 4 + 3(0) = 4
E quando x = 7 :
u = 4 + 3(7) = 25
Então, nossa nova integral fica de 4 a 25.

Passo 5

Substituindo u e dx na integral original:
integral0^7 raiz4 + 3x , dx = integral4^25 raizu cdot du3 = 13 integral4^25 u^1/2 , du

Passo 6

Agora, vamos integrar u^1/2 . A regra geral para integrar potências de u é:
integral u^n , du = u^n+1n+1 + C
Aqui, n = 12 , então:
integral u^1/2 , du = u^3/232 = 23 u^3/2

Passo 7

Aplicando isso à nossa integral:
13 integral4^25 u^1/2 , du = 13 cdot 23 [ u^3/2 ]4^25 = 29 ( u^3/2 g|4^25 )

Passo 8

Agora, calculamos u^3/2 nos limites:
Para u = 25 :
25^3/2 = (25)^1 cdot (25)^1/2 = 25 cdot 5 = 125
Para u = 4 :
4^3/2 = (4)^1 cdot (4)^1/2 = 4 cdot 2 = 8

Passo 9

Substituindo esses valores na expressão:
29 (125 - 8) = 29 times 117 = 2349 = 26

Resposta

A integral definida de raiz4 + 3x de 0 a 7 é igual a 26.

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