Calcule as seguintes integrais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente com uma integral que envolve uma função polinomial (
) multiplicada pelo quadrado do logaritmo natural de
(
). Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de integração por partes, que é super útil quando temos produtos de funções como esse.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão
e
. A ideia é escolher
de forma que sua derivada
seja mais simples, e
deve ser algo que possamos integrar facilmente para encontrar
.
Passo 3
Vamos escolher:
E,
Escolhemos
porque derivar o logaritmo reduz o grau da função, tornando a integral mais simples.
Passo 4
Aplicando a fórmula da integração por partes:
Substituindo
,
, e
:
Simplificando a integral restante:
Passo 5
Agora, precisamos resolver a nova integral
. Vamos aplicar novamente a integração por partes para essa integral.
Escolhemos:
E,
Passo 6
Aplicando a integração por partes novamente:
Substituindo
,
, e
:
Simplificando a integral restante:
Passo 7
Agora, resolvemos a última integral:
Substituindo de volta:
Passo 8
Voltando para a expressão que tínhamos no Passo 4:
Distribuindo
:
Passo 9
Podemos simplificar os coeficientes:
Passo 10
Finalmente, colocando todos os termos juntos, encontramos a integral: