Calcule as seguintes integrais:
integral x^4(ln x)^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral x^4(ln x)^2 , dx. Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente com uma integral que envolve uma função polinomial ( x^4) multiplicada pelo quadrado do logaritmo natural de x ( (ln x)^2). Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de integração por partes, que é super útil quando temos produtos de funções como esse.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão u e dv. A ideia é escolher u de forma que sua derivada du seja mais simples, e dv deve ser algo que possamos integrar facilmente para encontrar v.

Passo 3

Vamos escolher:
u = (ln x)^2 Rightarrow du = 2 ln x cdot 1x , dx = 2 ln xx , dx
E,
dv = x^4 , dx Rightarrow v = x^55
Escolhemos u = (ln x)^2 porque derivar o logaritmo reduz o grau da função, tornando a integral mais simples.

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral x^4 (ln x)^2 , dx = u cdot v - integral v , du
Substituindo u, v, e du:
= x^55 (ln x)^2 - integral x^55 cdot 2 ln xx , dx
Simplificando a integral restante:
= x^55 (ln x)^2 - 25 integral x^4 ln x , dx

Passo 5

Agora, precisamos resolver a nova integral integral x^4 ln x , dx. Vamos aplicar novamente a integração por partes para essa integral.
Escolhemos:
u = ln x Rightarrow du = 1x , dx
E,
dv = x^4 , dx Rightarrow v = x^55

Passo 6

Aplicando a integração por partes novamente:
integral x^4 ln x , dx = u cdot v - integral v , du
Substituindo u, v, e du:
= x^55 ln x - integral x^55 cdot 1x , dx
Simplificando a integral restante:
= x^55 ln x - 15 integral x^4 , dx

Passo 7

Agora, resolvemos a última integral:
integral x^4 , dx = x^55 + C
Substituindo de volta:
= x^55 ln x - 15 cdot x^55 + C = x^55 ln x - x^525 + C

Passo 8

Voltando para a expressão que tínhamos no Passo 4:
integral x^4 (ln x)^2 , dx = x^55 (ln x)^2 - 25 ( x^55 ln x - x^525 ) + C
Distribuindo -25:
= x^55 (ln x)^2 - 2x^525 ln x + 2x^5125 + C

Passo 9

Podemos simplificar os coeficientes:
= x^55 (ln x)^2 - 2x^525 ln x + 2x^5125 + C

Passo 10

Finalmente, colocando todos os termos juntos, encontramos a integral:
integral x^4(ln x)^2 , dx = x^55 (ln x)^2 - 2x^525 ln x + 2x^5125 + C

Resposta

integral x^4(ln x)^2 , dx = x^55 (ln x)^2 - 2x^525 ln x + 2x^5125 + C

Exercícios relacionados