Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries abaixo.
sumn=1^+infty (2 n+1)!n^3(x-2)^n

Passo 1

O enunciado nos dá a série de potências centrada em x0=2:
sumn=1^infty (2n+1)!n^3,(x-2)^n
Queremos encontrar o raio de convergência R e, em seguida, o intervalo de convergência. Para isso, vamos usar o teste da razão.

Passo 2

Denotando o termo geral por
un = (2n+1)!n^3,(x-2)^n,
o teste da razão pede que calculemos
L ;=; limntoinfty|un+1un|

Passo 3

Vamos determinar |tfracun+1un|:
|un+1un| = l|x-2r|;(2(n+1)+1)!(n+1)^3(2n+1)!n^3 = l|x-2r|;n^3(n+1)^3;(2n+3)(2n+2)
Para ntoinfty temos n^3(n+1)^3to1 e (2n+3)(2n+2)sim4n^2. Logo,
L = limntoinfty|un+1un| = limntoinftyl|x-2r|;4n^2 = 0,&se x=2, +infty,&se xneq2

Passo 4

Pelo teste da razão, para convergência precisamos de L<1.
  • Se xneq2, então L=+infty>1 e a série diverge.
  • Se x=2, então cada termo un=0 para todo n>=1 e a série converge trivialmente.
Assim o raio de convergência é
R = 0
e o intervalo de convergência é apenas o ponto
,2

Resposta

Raio de convergência: R=0.
Intervalo de convergência: somente x=2.

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