Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries abaixo.
Passo 1
O enunciado nos dá a série de potências centrada em
:
Queremos encontrar o raio de convergência
e, em seguida, o intervalo de convergência. Para isso, vamos usar o teste da razão.
Passo 2
Denotando o termo geral por
o teste da razão pede que calculemos
Passo 3
Vamos determinar
|tfracun+1un| :
Para
ntoinfty temos
n^3(n+1)^3to1 e
(2n+3)(2n+2)sim4n^2 . Logo,
Passo 4
Pelo teste da razão, para convergência precisamos de
L<1 .
- Se
, entãoxneq2 e a série diverge.L=+infty>1 - Se
, então cada termox=2 para todoun=0 e a série converge trivialmente.n>=1
Assim o raio de convergência é
e o intervalo de convergência é apenas o ponto
Resposta
Raio de convergência:
R=0 .
Intervalo de convergência: somentex=2 .
Intervalo de convergência: somente