Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries abaixo.
Passo 1
O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série
Aqui o conteúdo é série de potências centrada em
. Para achar o raio vamos usar o teste da razão, e em seguida testar os pontos finais do intervalo.
Passo 2
Defina
. A série fica
Pelo teste da razão calculamos
Para convergir precisamos
tfrac|y|2<1 , isto é
|y|<2 .
Passo 3
Da condição
|y|<2 obtemos
que define o intervalo aberto
-4<x<0 . Logo o raio de convergência é
Passo 4
Testando
x=-4 , temos
y=-4+2=-2 e a série vira
Como
tfrac1n+1 decresce a zero e os sinais alternam, pelo critério de Leibniz essa série converge (condicionalmente).
Passo 5
Testando
x=0 , temos
y=2 e a série vira
que é a série harmônica deslocada e diverge.
Resposta
Raio de convergência:
R=2 .
Intervalo de convergência:l[-4,0r) .
Intervalo de convergência: