Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries abaixo.
sumn=0^+infty (x+2)^n(n+1) 2^n

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série
sumn=0^infty(x+2)^n(n+1),2^n
Aqui o conteúdo é série de potências centrada em x=-2. Para achar o raio vamos usar o teste da razão, e em seguida testar os pontos finais do intervalo.

Passo 2

Defina y = x+2. A série fica
sumn=0^inftyan,com an = y^n(n+1),2^n
Pelo teste da razão calculamos
limntoinfty|an+1an| = limntoinfty |y^n+1(n+2),2^n+1 y^n(n+1),2^n| = limntoinfty|y|2,n+1n+2 = |y|2
Para convergir precisamos tfrac|y|2<1, isto é |y|<2.

Passo 3

Da condição |y|<2 obtemos
|x+2|<2,
que define o intervalo aberto -4<x<0. Logo o raio de convergência é
R = 2

Passo 4

Testando x=-4, temos y=-4+2=-2 e a série vira
sumn=0^infty(-2)^n(n+1),2^n =sumn=0^infty(-1)^nn+1
Como tfrac1n+1 decresce a zero e os sinais alternam, pelo critério de Leibniz essa série converge (condicionalmente).

Passo 5

Testando x=0, temos y=2 e a série vira
sumn=0^infty2^n(n+1),2^n =sumn=0^infty1n+1,
que é a série harmônica deslocada e diverge.

Resposta

Raio de convergência: R=2.
Intervalo de convergência: l[-4,0r).

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