Calcule as seguintes integrais
integral1^2(t^2 i-t raizt-1 j+3 t sen(pi t) k) d t

Passo 1

O enunciado pede a integral do campo vetorial
integral1^2l(t^2,hatimath ;-;traizt-1,hatjmath;+;3tsin(pi t),hat kr),dt
Para resolver, usamos o fato de que a integral de um vetor é feita componente a componente.

Passo 2

Integramos a componente em hatimath:
integral1^2t^2,dt =l[t^33r]1^2 =2^33-1^33 =8-13 =73

Passo 3

Integramos a componente em hatjmath:
integral1^2traizt-1,dt
Fazemos a substituição u=t-1, logo t=u+1 e dt=du.
Quando t=1, u=0; quando t=2, u=1.
A integral vira
integral0^1(u+1),u^1/2,du =integral0^1l(u^3/2+u^1/2r),du =l[25u^5/2+23u^3/2r]0^1 =25+23 =6+1015 =1615

Passo 4

Integramos a componente em hat k:
integral1^23tsin(pi t),dt
Usamos integração por partes com u=t e dv=3sin(pi t),dt.
Então du=dt e
v=integral3sin(pi t),dt =-3picos(pi t)
Aplicando
integral u,dv =uv-integral v,du
temos
integral1^23tsin(pi t),dt =l[-3tpicos(pi t)r]1^2 +3piintegral1^2cos(pi t),dt
O termo de segunda integral é
3pi![1pisin(pi t)]1^2 =3pi^2l(sin2pi-sinpir) =0
Logo sobra
-3cdot2picos(2pi) ;-; l(-3cdot1picos(pi)r) =-6pi-3pi =-9pi

Resposta

integral1^2l(t^2,hatimath - traizt-1,hatjmath + 3tsin(pi t),hat kr),dt =73,hatimath ;-;1615,hatjmath ;-;9pi,hat k

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