Determine se cada uma das sequências é convergente ou divergente. Se ela for convergente, encontre o limite.
an=3+(-1)^n raiznn+2

Passo 1

Beleza, então temos que analisar a sequência an = 3 + (-1)^n raiznn + 2 para ver se ela converge ou diverge. A matéria que vamos usar aqui é o Estudo de Limites de Sequências, onde verificamos o comportamento da sequência conforme n cresce. Para resolver, precisamos entender como cada parte da fração se comporta quando n aumenta bastante.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no numerador e no denominador separadamente:
  • Numerador: 3 + (-1)^n raizn
    Aqui, temos dois termos: o número constante 3 e (-1)^n raizn . O termo (-1)^n faz a expressão oscilar entre positivo e negativo conforme n aumenta, enquanto raizn cresce sem limites quando n fica grande.
  • Denominador: n + 2
    Esse é mais simples: à medida que n aumenta, n + 2 cresce praticamente como n .

Passo 3

Vamos simplificar a expressão considerando os termos que mais influenciam o comportamento da sequência para valores grandes de n :
an = 3 + (-1)^n raiznn + 2 approx (-1)^n raiznn = (-1)^nraizn
Aqui, ignoramos o 3 e o 2 porque, para valores grandes de n , raizn e n dominam.

Passo 4

Agora, vamos analisar o limite de (-1)^nraizn quando n tende ao infinito:
  • O termo (-1)^n faz a sequência oscilar entre positivo e negativo.
  • O denominador raizn cresce sem limites, fazendo com que o valor absoluto de cada termo diminua.
Portanto, embora a sequência oscile, os valores estão se aproximando cada vez mais de zero.

Passo 5

Aplicando o conceito de limite de sequência, sabemos que se a sequência oscila, mas os termos se aproximam de um único valor, ela converge para esse valor. No nosso caso, à medida que n cresce, (-1)^nraizn se aproxima de 0.

Resposta

A sequência an = 3 + (-1)^n raiznn + 2 é convergente e seu limite é 0.

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