Determine se cada uma das sequências é convergente ou divergente. Se ela for convergente, encontre o limite.
Passo 1
Beleza, então temos que analisar a sequência
para ver se ela converge ou diverge. A matéria que vamos usar aqui é o Estudo de Limites de Sequências, onde verificamos o comportamento da sequência conforme
cresce. Para resolver, precisamos entender como cada parte da fração se comporta quando
aumenta bastante.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada no numerador e no denominador separadamente:
-
Numerador:Aqui, temos dois termos: o número constante 3 e
. O termo faz a expressão oscilar entre positivo e negativo conforme aumenta, enquanto cresce sem limites quando fica grande. -
Denominador:Esse é mais simples: à medida que
aumenta, cresce praticamente como .
Passo 3
Vamos simplificar a expressão considerando os termos que mais influenciam o comportamento da sequência para valores grandes de
:
Aqui, ignoramos o 3 e o 2 porque, para valores grandes de
,
e
dominam.
Passo 4
Agora, vamos analisar o limite de
quando
tende ao infinito:
- O termo
faz a sequência oscilar entre positivo e negativo. - O denominador
cresce sem limites, fazendo com que o valor absoluto de cada termo diminua.
Portanto, embora a sequência oscile, os valores estão se aproximando cada vez mais de zero.
Passo 5
Aplicando o conceito de limite de sequência, sabemos que se a sequência oscila, mas os termos se aproximam de um único valor, ela converge para esse valor. No nosso caso, à medida que
cresce,
se aproxima de 0.
Resposta
A sequência
é convergente e seu limite é 0.