Determine se cada uma das sequências é convergente ou divergente. Se ela for convergente, encontre o limite.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma sequência definida por
. Precisamos descobrir se essa sequência converge (ou seja, se ela se aproxima de um valor específico conforme
cresce) ou se diverge (não se aproxima de nenhum valor). Se ela convergir, também vamos encontrar qual é esse limite. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites e propriedades da função cosseno.
Passo 2
Primeiro, vamos observar o comportamento de
quando
aumenta. Conforme
fica maior,
fica menor e tende a zero. Então, estamos olhando para o cosseno de um número que está se aproximando de zero.
Passo 3
Sabemos que, para valores pequenos de
, o cosseno pode ser aproximado pela fórmula de Taylor:
Vamos aplicar essa aproximação para
:
Passo 4
Agora, substituímos essa aproximação na expressão original da sequência:
Isso simplifica a sequência para:
Passo 5
Vamos analisar o limite dessa expressão conforme
tende ao infinito:
Sabemos que:
Então:
Resposta
A sequência
é divergente, pois o seu limite tende a infinito.