Determine se cada uma das sequências é convergente ou divergente. Se ela for convergente, encontre o limite.
an=n cos (1n)

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma sequência definida por an = n cos (1n) . Precisamos descobrir se essa sequência converge (ou seja, se ela se aproxima de um valor específico conforme n cresce) ou se diverge (não se aproxima de nenhum valor). Se ela convergir, também vamos encontrar qual é esse limite. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites e propriedades da função cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos observar o comportamento de 1n quando n aumenta. Conforme n fica maior, 1n fica menor e tende a zero. Então, estamos olhando para o cosseno de um número que está se aproximando de zero.

Passo 3

Sabemos que, para valores pequenos de x , o cosseno pode ser aproximado pela fórmula de Taylor:
cos x approx 1 - x^22
Vamos aplicar essa aproximação para x = 1n :
cos (1n) approx 1 - 12n^2

Passo 4

Agora, substituímos essa aproximação na expressão original da sequência:
an = n cos (1n) approx n (1 - 12n^2) = n - 12n
Isso simplifica a sequência para:
an = n - 12n

Passo 5

Vamos analisar o limite dessa expressão conforme n tende ao infinito:
limn to infty ( n - 12n ) = limn to infty n - limn to infty 12n
Sabemos que:
limn to infty n = infty e limn to infty 12n = 0
Então:
infty - 0 = infty

Resposta

A sequência an = n cos (1n) é divergente, pois o seu limite tende a infinito.

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