Calcule as seguintes integrais:
integral d x(x+a)(x+b);

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: integral dx(x+a)(x+b). Aqui, estamos trabalhando com integrais racionais, que envolvem frações polinomiais. Para resolver, vamos precisar usar frações parciais, uma técnica que ajuda a simplificar integrais complicadas.

Passo 2

Primeiro, vamos quebrar a fração 1(x+a)(x+b) em frações mais simples. A ideia é encontrar números A e B tais que:
1(x+a)(x+b) = Ax+a + Bx+b

Passo 3

Para encontrar A e B, vamos somar as frações do lado direito:
Ax+a + Bx+b = A(x+b) + B(x+a)(x+a)(x+b)
Igualando ao numerador do lado esquerdo:
1 = A(x+b) + B(x+a)

Passo 4

Agora, vamos resolver para A e B. Expandindo a equação:
1 = Ax + Ab + Bx + Ba = (A + B)x + (Ab + Ba)
Como essa igualdade deve valer para todo x, podemos igualar os coeficientes:
A + B = 0 (coeficiente de x)
Ab + Ba = 1 (termo constante)

Passo 5

Da primeira equação, A + B = 0, podemos expressar B = -A. Substituindo na segunda equação:
A b + (-A) a = 1 Rightarrow A(b - a) = 1 Rightarrow A = 1b - a
Então, B = -1b - a.

Passo 6

Agora que temos A e B, podemos reescrever a integral original:
integral dx(x+a)(x+b) = integral ( 1b - a cdot 1x+a - 1b - a cdot 1x+b ) dx

Passo 7

Vamos separar as integrais:
1b - a integral dxx+a - 1b - a integral dxx+b
Sabemos que integral dxx+c = ln|x+c| + C, onde C é a constante de integração.

Passo 8

Aplicando a antiderivada:
1b - a ln|x+a| - 1b - a ln|x+b| + C
Podemos fatorar 1b - a:
1b - a ( ln|x+a| - ln|x+b| ) + C

Passo 9

Utilizando a propriedade dos logaritmos ln A - ln B = ln(AB), temos:
1b - a ln| x+ax+b | + C

Resposta

A integral integral dx(x+a)(x+b) é igual a:
1b - a ln| x+ax+b | + C
onde C é a constante de integração.

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