Determine as soluções das equações diferenciais lineares de primeira ordem.
x y^prime+x^2 y=e^-x^2 / 2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de primeira ordem
x,y'(x) + x^2,y(x) = e^-x^2/2,
ou seja, uma EDO da forma
y' + P(x),y = Q(x),
onde vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Dividimos tudo por x (supondo xneq0) para pôr no formato padrão:
y'(x) + x,y(x) = e^-x^2/2x

Passo 3

O fator integrante mu(x) satisfaz
mu(x) = expl(integral P(x),dxr) = expl(integral x,dxr) = expl(tfracx^22r)

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por mu(x). O lado esquerdo vira derivada de mu,y:
expl(tfracx^22r),y' + x,expl(tfracx^22r),y = l(exp(tfracx^22),yr)',
e o lado direito fica
expl(tfracx^22r),e^-x^2/2x = 1x
Logo obtemos
l(e^x^2/2,yr)' = 1x

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
e^x^2/2,y = integral 1x,dx + C = lnl|xr| + C

Passo 6

Isolando y, chegamos à solução geral:
y(x) = e^-x^2/2,l(ln|x| + Cr),
válida em cada intervalo onde xneq0.

Resposta

boxedy(x) = e^-x^2/2,l(ln|x| + Cr), CinR

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