Determine as soluções das equações diferenciais lineares de primeira ordem.
(1+x^2) y^prime+x y=-(1+x^2)^3 / 2

Passo 1

O enunciado é resolver a equação diferencial linear de primeira ordem
(1+x^2),y' + x,y = -l(1+x^2r)^3/2
O conteúdo é o método do fator integrante para equações da forma
y' + P(x),y = Q(x)
Vamos transformar em forma padrão e aplicar fator integrante.

Passo 2

Dividindo tudo por (1+x^2) para obter
y' + x1+x^2,y = -raiz1+x^2
Aqui identificamos
P(x)=x1+x^2, Q(x)=-raiz1+x^2

Passo 3

Calculamos o fator integrante
mu(x)=expl(integral P(x),dxr) =expl(integralx1+x^2,dxr) =expl(tfrac12ln(1+x^2)r) =raiz1+x^2

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por mu(x):
raiz1+x^2;y' + xraiz1+x^2;y =l(yraiz1+x^2r)' = -l(1+x^2r)
Agora integramos ambos os lados:
yraiz1+x^2 =integral -l(1+x^2r),dx + C =-l(x+x^33r)+C

Passo 5

Isolando y, obtemos a solução geral
y(x) =-x - x^33 + Craiz1+x^2 =C - x - tfracx^33raiz1+x^2

Resposta

boxedy(x)=C - x - tfracx^33raiz1+x^2,
onde C é constante arbitrária.

Exercícios relacionados