Verifique se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente. Caso convirja, determine a sua soma. (Dica: relembre que uma série geométrica converge se a razão |r|<1.)
sumn=1^infty 1(3 n-2)(3 n+1)

Passo 1

O enunciado pede para estudar a série
sumn=1^infty1(3n-2)(3n+1)
Verificaremos a convergência e, se for convergente, acharemos sua soma. Para isso, vamos usar decomposição em frações parciais e perceber que a soma é telescópica.

Passo 2

Escrevemos
1(3n-2)(3n+1)=A3n-2+B3n+1
Multiplicando por (3n-2)(3n+1), obtemos
1 = A(3n+1)+B(3n-2) = (3A+3B)n + (A-2B)
Igualando coeficientes em n e constantes:
3A+3B=0, A-2B=1
Da primeira vem A=-B. Substituindo na segunda:
A-2(-A)=3A=1implies A=tfrac13, B=-tfrac13
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1(3n-2)(3n+1)=13l(13n-2-13n+1r)

Passo 3

Considere a soma parcial
SN=sumn=1^N1(3n-2)(3n+1) =13sumn=1^Nl(13n-2-13n+1r)
Ao escrever os termos dá para ver o cancelamento em cascata (telescópico):
SN=13l(11-14+14-17+cdots+13N-2-13N+1r) =13l(1-13N+1r)

Passo 4

Tomando o limite quando Ntoinfty:
limNtoinftySN =13l(1-limNtoinfty13N+1r) =13(1-0) =13
Como o limite da soma parcial existe e é finito, a série converge e sua soma é tfrac13.

Resposta

A série converge e
sumn=1^infty1(3n-2)(3n+1)=13

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