Verifique se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente. Caso convirja, determine a sua soma. (Dica: relembre que uma série geométrica converge se a razão
.)
Passo 1
O enunciado pede para estudar a série
Verificaremos a convergência e, se for convergente, acharemos sua soma. Para isso, vamos usar decomposição em frações parciais e perceber que a soma é telescópica.
Passo 2
Escrevemos
Multiplicando por
, obtemos
Igualando coeficientes em
e constantes:
Da primeira vem
. Substituindo na segunda:
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Passo 3
Considere a soma parcial
Ao escrever os termos dá para ver o cancelamento em cascata (telescópico):
Passo 4
Tomando o limite quando
:
Como o limite da soma parcial existe e é finito, a série converge e sua soma é
.
Resposta
A série converge e