Calcule as seguintes integrais:
integral x^2-5 x+9x^2-5 x+6 d x;

Passo 1

O enunciado pede calcular
integral x^2-5x+9x^2-5x+6,dx
O conteúdo aqui é integração de função racional. Vamos usar divisão de polinômios para reduzir o grau e depois frações parciais.

Passo 2

Como o grau do numerador é igual ao do denominador, dividimos:
x^2-5x+9x^2-5x+6 =1+(x^2-5x+9)-(x^2-5x+6)x^2-5x+6 =1+3(x-2)(x-3)

Passo 3

Agora decompondo
3(x-2)(x-3)=Ax-2+Bx-3,
multiplicamos por (x-2)(x-3) e obtemos
3 = A(x-3)+B(x-2)
Para x=2 vem 3=Acdot(-1) então A=-3.
Para x=3 vem 3=Bcdot1 então B=3.
Logo
3(x-2)(x-3) =-3x-2+3x-3

Passo 4

Substituindo na integral:
integral x^2-5x+9x^2-5x+6,dx =integrall(1-3x-2+3x-3r),dx
Integramos termo a termo usando
integral 1,dx = x
e
integral1x-a,dx = lnlvert x-arvert.
Assim,
integral x^2-5x+9x^2-5x+6,dx = x -3lnlvert x-2rvert +3lnlvert x-3rvert + C

Resposta

x -3lnlvert x-2rvert +3lnlvert x-3rvert + C

Exercícios relacionados