Resolva o problema de valor inicial.
y^prime=x^3-2 x y, y(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y' = x^3 - 2xy, y(0)=0
Isso é uma equação diferencial ordinária linear de 1ª ordem. Para resolver vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Escrevendo em forma padrão
y' + 2x,y = x^3,
identificamos P(x)=2x e Q(x)=x^3. O fator integrante é
mu(x) = e^integral P(x),dx = e^integral 2x,dx = e^x^2

Passo 3

Multiplicamos toda a equação por mu(x):
e^x^2y' + 2x,e^x^2y = x^3 e^x^2,
e reconhecemos que o lado esquerdo é a derivada de e^x^2y, ou seja
l(e^x^2yr)' = x^3 e^x^2
Agora integramos ambos os lados:
integral l(e^x^2yr)' ,dx = integral x^3 e^x^2,dx
Para a integral da direita, fazemos u=x^2, du=2x,dx logo x^3,dx = x^2cdot x,dx = udu2. Assim
integral x^3 e^x^2,dx = 12integral u,e^u,du = 12l(u,e^u - e^ur) + C = 12e^x^2(x^2 - 1) + C
Portanto
e^x^2y = 12e^x^2(x^2 - 1) + C

Passo 4

Isolando y vem
y = 12(x^2 - 1) + C,e^-x^2
Aplicando a condição y(0)=0
0 = 12(0-1) + Ccdot e^0 Longrightarrow C = 12

Resposta

y(x) = x^2 - 1 + e^-x^22

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