Verifique se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente. Caso convirja, determine a sua soma. (Dica: relembre que uma série geométrica converge se a razão |r|<1.)
sumn=0^infty 510^3 n

Passo 1

O enunciado pede para estudarmos a convergência da série
sumn=0^infty 510^3n
e, se convergente, calcular sua soma. O conteúdo envolvido é a série geométrica, cuja convergência ocorre quando a razão satisfaz lvert rrvert<1.

Passo 2

Reescrevemos o termo geral para identificar a forma geométrica. Observando que
10^3n = (10^3)^n = 1000^n,
temos
510^3n = 5l(1000^-1r)^n = 5l(11000r)^n
Assim, é uma série geométrica de primeiro termo
a = 5
e razão
r = 11000.

Passo 3

O critério de convergência para série geométrica é lvert rrvert<1. Aqui
lvert rrvert = 11000<1,
logo a série converge.

Passo 4

Para uma série geométrica convergente com termo inicial a e razão r, vale
sumn=0^infty a,r^n = a1-r
Substituindo a=5 e r=tfrac11000:

Passo 5

sumn=0^infty 510^3n = 51 - tfrac11000 = 5tfrac9991000 = 5000999

Resposta

A série é convergente e sua soma é 5000999.

Exercícios relacionados