Calcule as seguintes integrais:
integral d x(x^2-4 x+3)(x^2+4 x+5);

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral dxl(x^2-4x+3r)l(x^2+4x+5r)
O conteúdo que vamos usar inclui fatoração de quadráticos, decomposição em frações parciais e técnicas de integração de logaritmo e arco-tangente.

Passo 2

Primeiro fatoramos x^2-4x+3=(x-1)(x-3) e completamos o quadrado em x^2+4x+5=(x+2)^2+1. Propomos a decomposição
1(x-1)(x-3)(x^2+4x+5) =Ax-1+Bx-3+Cx+Dx^2+4x+5

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por (x-1)(x-3)(x^2+4x+5) obtemos a identidade
1=A(x-3)(x^2+4x+5)+B(x-1)(x^2+4x+5)+(Cx+D)(x-1)(x-3)
Expandindo e agrupando coeficientes gera o sistema
A+B+C=0, A+3B+D-4C=0, -7A+B+3C-4D=0, -15A-5B+3D=1

Passo 4

Resolvendo o sistema encontramos
A=-tfrac120, B=tfrac152, C=tfrac265, D=tfrac326
Logo
1(x-1)(x-3)(x^2+4x+5) =-120(x-1)+152(x-3)+tfrac265x+tfrac326(x+2)^2+1

Passo 5

A integral se separa em três partes:
integral dxcdots =-120integraldxx-1 +152integraldxx-3 +integral265x+326(x+2)^2+1,dx

Passo 6

Para a última parte escrevemos
tfrac265x+tfrac326 =tfrac265(x+2)+tfrac7130
e usamos
integralx+2(x+2)^2+1,dx =tfrac12lnl((x+2)^2+1r), integraldx(x+2)^2+1 =arctan(x+2)
Somando tudo vem
-tfrac120ln|x-1| +tfrac152ln|x-3| +tfrac165lnl((x+2)^2+1r) +tfrac7130arctan(x+2) +C

Resposta

integral dx(x^2-4x+3)(x^2+4x+5) =-120lnlvert x-1rvert +152lnlvert x-3rvert +165lnl((x+2)^2+1r) +7130arctan(x+2) +C

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