Resolva o problema de valor inicial.
d yd t+3 t^2 y=e^-t^3+t, y(0)=2

Passo 1

Vamos resolver o problema de valor inicial dado pela equação diferencial:
d yd t + 3 t^2 y = e^-t^3 + t, y(0) = 2
Aqui, estamos trabalhando com uma equação diferencial de primeira ordem e linear. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, identificamos os coeficientes da equação. A equação está na forma padrão:
d yd t + P(t) y = Q(t)
onde P(t) = 3 t^2 e Q(t) = e^-t^3 + t .

Passo 3

Agora, encontramos o fator integrante mu(t) , que é dado por:
mu(t) = e^integral P(t) , dt = e^integral 3 t^2 , dt = e^t^3

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante mu(t) = e^t^3 :
e^t^3 d yd t + e^t^3 cdot 3 t^2 y = e^t^3 cdot e^-t^3 + t
Isso simplifica para:
dd t ( e^t^3 y ) = e^t

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a t :
integral dd t ( e^t^3 y ) , dt = integral e^t , dt
Isso resulta em:
e^t^3 y = e^t + C
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Isolando y :
y = e^-t^3 ( e^t + C ) = e^t - t^3 + C e^-t^3

Passo 7

Aplicamos a condição inicial y(0) = 2 para encontrar C :
2 = e^0 - 0 + C e^-0 Rightarrow 2 = 1 + C Rightarrow C = 1

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(t) = e^t - t^3 + e^-t^3

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