Resolva o problema de valor inicial.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
(cos x) dy/dx − (sen x) y = 1, com y(2π) = π
Isso é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Vamos usar o método do fator integrante para chegar à solução.
Passo 2
Primeiro, dividimos toda a equação por cos x (pressupondo cos x ≠ 0) para colocá-la na forma padrão y′ + p(x)y = q(x). Assim obtemos:
ou seja
Passo 3
Em equações lineares do tipo y’ + p(x)y = q(x), o fator integrante é
Aqui p(x) = - tan x, logo
e
Passo 4
Multiplicamos a forma padrão por μ(x) = cos x. Isso torna o lado esquerdo uma derivada exata:
Como do outro lado ficaria cos x·sec x = 1, a equação fica:
Integrando em relação a x:
Passo 5
Isolamos y:
Agora usamos a condição inicial y(2π)=π. Substituindo x=2π:
Como
, isso dá 2π + C = π, ou seja C = -π.
Passo 6
Portanto, a solução geral que satisfaz a condição inicial é
Resposta
y(x) = (x - \pi)\sec x