Resolva o problema de valor inicial.
(cos x) d yd x-(sen x) y=1, y(2 pi)=pi

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
(cos x) dy/dx − (sen x) y = 1, com y(2π) = π
Isso é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Vamos usar o método do fator integrante para chegar à solução.

Passo 2

Primeiro, dividimos toda a equação por cos x (pressupondo cos x ≠ 0) para colocá-la na forma padrão y′ + p(x)y = q(x). Assim obtemos:
dy/dx - (sin x/cos x),y = 1/cos x
ou seja
y' - tan x,y = sec x

Passo 3

Em equações lineares do tipo y’ + p(x)y = q(x), o fator integrante é
mu(x) = e^integral p(x),dx
Aqui p(x) = - tan x, logo
integral p(x),dx = integral -tan x,dx = ln|cos x|
e
mu(x) = e^ln|cos x| = cos x

Passo 4

Multiplicamos a forma padrão por μ(x) = cos x. Isso torna o lado esquerdo uma derivada exata:
cos x,y' - sin x,y = ddx(cos x,y)
Como do outro lado ficaria cos x·sec x = 1, a equação fica:
ddx(cos x,y) = 1
Integrando em relação a x:
cos x,y = integral 1,dx = x + C

Passo 5

Isolamos y:
y = x + Ccos x = (x + C)sec x
Agora usamos a condição inicial y(2π)=π. Substituindo x=2π:
(2pi + C)sec(2pi) = pi
Como sec(2pi)=1, isso dá 2π + C = π, ou seja C = -π.

Passo 6

Portanto, a solução geral que satisfaz a condição inicial é
y(x) = (x - pi)sec x

Resposta

y(x) = (x - \pi)\sec x

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