Calcule as seguintes integrais:
integral d x(1+x^2)^2;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral dxl(1+x^2r)^2
O conteúdo principal aqui é usar uma substituição trigonométrica do tipo x=tantheta, que simplifica Razões envolvendo 1+x^2.

Passo 2

Fazemos a substituição
x = tantheta Longrightarrow dx = sec^2theta,dtheta, 1 + x^2 = 1 + tan^2theta = sec^2theta
Substituindo na integral, obtemos
integral dx(1+x^2)^2 = integral sec^2theta,dthetal(sec^2thetar)^2 = integral sec^2thetasec^4theta,dtheta = integral cos^2theta,dtheta

Passo 3

Para integrar integral cos^2theta,dtheta, usamos a identidade de redução
cos^2theta = 1+cos2theta2
Logo,
integral cos^2theta,dtheta = integral 1+cos2theta2,dtheta = 12integral dtheta + 12integral cos2theta,dtheta = theta2 + 12cdotsin2theta2 + C = theta2 + sin2theta4 + C

Passo 4

Voltemos à variável x. Sabemos que
theta = arctan x, sin2theta = 2sinthetacostheta
E da substituição x=tantheta temos
sintheta = xraiz1+x^2, costheta = 1raiz1+x^2,
logo
sin2theta = 2,xraiz1+x^2,1raiz1+x^2 = 2x1+x^2
Substituindo em theta2 + sin2theta4, obtemos
theta2 + sin2theta4 = 12arctan x + 14cdot2x1+x^2 = 12arctan x + x2(1+x^2) + C

Resposta

boxed integral dx(1+x^2)^2 = x2(1+x^2) + 12arctan x + C

Exercícios relacionados