Calcule as seguintes integrais:
integral x^4x^4-1 d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral x^4x^4-1,dx
que é uma integral de função racional. Para resolver, vamos primeiro fazer divisão algébrica e depois decomposição em frações parciais.

Passo 2

Fazendo a divisão de polinômios,
x^4x^4-1 =1+1x^4-1
Note que
x^4-1 = (x^2-1)(x^2+1)
Logo precisamos decompor
1(x^2-1)(x^2+1) = Ax^2-1 + Bx^2+1
Multiplicando ambos os lados por (x^2-1)(x^2+1)
1 = A(x^2+1) + B(x^2-1) = (A+B),x^2 + (A - B)
Comparando coeficientes:
A+B = 0, A - B = 1 Longrightarrow A = tfrac12,; B = -tfrac12

Passo 3

Portanto
1x^4-1 = tfrac12x^2-1 ;-;tfrac12x^2+1 = 12,1x^2-1 ;-;12,1x^2+1
Além disso, para a parte 1x^2-1 usamos
1x^2-1 = 12l(1x-1 - 1x+1r)

Passo 4

Reunindo tudo:
integral x^4x^4-1,dx = integral 1,dx + 12integral dxx^2-1 - 12integral dxx^2+1
Sabemos que
integral 1,dx = x,
integral dxx^2-1 = 12lnl|x-1x+1r|,
integral dxx^2+1 = arctan x.

Resposta

x ;+;14lnl|x-1x+1r| ;-;12arctan x + C

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