Verifique se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente. Caso convirja, determine a sua soma. (Dica: relembre que uma série geométrica converge se a razão |r|<1.)
sumn=1^infty (-5)^n8^2 n

Passo 1

O enunciado pede para analisar a série
sumn=1^infty (-5)^n8^2n
Isso é conteúdo de séries numéricas, mais precisamente uma série geométrica. Para decidir convergência e, se convergir, encontrar a soma, vamos identificar a razão e usar o critério de que uma série geométrica sumn=1^infty ar^n-1 converge se lvert rrvert<1 e, nesse caso, soma-se por tfraca1-r.

Passo 2

Observe que
8^2n = l(8^2r)^n = 64^n,
então o termo geral fica
an = (-5)^n64^n = l(-564r)^n
Isto mostra que é uma série geométrica de razão
r = -564

Passo 3

Verificamos o módulo da razão:
llvert rrrvert = 564 < 1
Como lvert rrvert<1, a série converge.

Passo 4

A soma de uma série geométrica que começa em n=1 com termo geral r^n é
sumn=1^infty r^n = r1-r
Aqui r = -tfrac564, logo
sumn=1^infty l(-tfrac564r)^n = -tfrac5641 - l(-tfrac564r) = -tfrac5641 + tfrac564 = -tfrac564tfrac6964 = -569

Resposta

A série converge e sua soma é -tfrac569.

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