Calcule as seguintes integrais:
integral d x(x+1)(x^2+x+1)^2;

Passo 1

A questão nos pede para calcular a integral desigual de uma função racional do tipo 1/[(x+1)(x^2+x+1)^2]. O conteúdo que vamos usar inclui decomposição em frações parciais e integrais padrão de funções racionais, além de técnica de completar quadrado para arctan.

Passo 2

Para decompor em frações parciais, escrevemos
1(x+1)(x^2+x+1)^2 = Ax+1 + Bx+Cx^2+x+1 + Dx+E(x^2+x+1)^2
Multiplicando ambos os lados por (x+1)(x^2+x+1)^2 e igualando coeficientes de potências de x, obtemos o sistema
A+B=0, 2A+2B+C=0, 3A+2B+2C+D=0, 2A+B+2C+D+E=0, A+C+E=1
Resolvendo, encontramos A=1, B=-1, C=0, D=-1, E=0.

Passo 3

Substituindo os coeficientes na decomposição, a integral se separa em três partes:
integral dx(x+1)(x^2+x+1)^2 = integral dxx+1 - integral x,dxx^2+x+1 - integral x,dx(x^2+x+1)^2
Chamemos essas integrais de I1, I2 e I3, respectivamente.

Passo 4

Para I1 = integral dx/(x+1) temos a primitiva imediata
I1 = ln|x+1|

Passo 5

Em I2 = integral x,dx/(x^2+x+1), usamos u=x^2+x+1, du=(2x+1)dx. Escrevemos x = tfrac12(2x+1) - tfrac12, de modo que
I2 = 12 integral 2x+1u ,du - 12 integral dxu = 12ln u - 12 integral dxx^2+x+1
Para integral dx/(x^2+x+1) completamos quadrado: x^2+x+1=(x+tfrac12)^2+tfrac34, resultando
integral dxx^2+x+1 = 2raiz3arctanl(2x+1raiz3r)
Logo
I2 = 12ln(x^2+x+1) - 1raiz3arctanl(2x+1raiz3r)

Passo 6

Para I3 = integral x,dx/(x^2+x+1)^2, de novo usamos u=x^2+x+1, du=(2x+1)dx, então x,dx=(du-dx)/2. Isso leva a
I3 = 12 integral duu^2 - 12 integral dxu^2 = -12u - 12 integral dx(x^2+x+1)^2
Para integral dx/(x^2+x+1)^2 usamos a fórmula padrão com quadrado completado e obtemos
integral dx(x^2+x+1)^2 = 2x+13(x^2+x+1) + 43raiz3arctanl(2x+1raiz3r)
Assim
I3 = -x+23(x^2+x+1) - 23raiz3arctanl(2x+1raiz3r)

Passo 7

Agora somamos I1 - I2 - I3 e simplificamos. O resultado final é
ln|x+1| - tfrac12ln(x^2+x+1) + x+23(x^2+x+1) + 53raiz3arctanl(2x+1raiz3r) + C

Resposta

integral dx(x+1)(x^2+x+1)^2 = ln|x+1| - tfrac12ln(x^2+x+1) + x+23(x^2+x+1) + 53raiz3arctanl(2x+1raiz3r) + C

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