Verifique se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente. Caso convirja, determine a sua soma. (Dica: relembre que uma série geométrica converge se a razão |r|<1.)
sumn=0^infty 2^n+3e^n-3

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumn=0^infty 2^n+3e^n-3
usando o fato de que uma série geométrica
sumn=0^infty a,r^n
converge exatamente quando lvert rrvert<1 e, nesse caso, sua soma é
a1-r

Passo 2

Vamos colocar o termo geral na forma a,r^n. Note que
2^n+3e^n-3 =2^3,e^3;2^ne^n =8,e^3;l(2er)^n

Passo 3

Da expressão acima identificamos:
a = 8,e^3, r = 2e

Passo 4

Como eapprox2,718>2, temos llvert rrrvert=tfrac2e<1. Logo a série converge e sua soma vale
sumn=0^infty8,e^3l(2er)^n =8,e^31-tfrac2e =8,e^3tfrace-2e =8,e^4e-2

Resposta

A série converge e
sumn=0^infty2^n+3e^n-3 =8,e^4e-2

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