Calcule as seguintes integrais:
integral 2 x^2+41 x-9(x-1)(x+3)(x-4) d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral 2x^2+41x-9(x-1)(x+3)(x-4),dx
Este é um exemplo de função racional; vamos usar decomposição em frações parciais para reescrevê-la como soma de termos do tipo A/(x-a) e depois integrar cada um via logaritmo.

Passo 2

Assumimos que existem constantes A, B e C tais que
2x^2+41x-9(x-1)(x+3)(x-4) = Ax-1 + Bx+3 + Cx-4
Multiplicando em ambos os lados por (x-1)(x+3)(x-4) obtemos
2x^2+41x-9 = A(x+3)(x-4) ;+; B(x-1)(x-4) ;+; C(x-1)(x+3)
Expandindo e coletando coeficientes de x^2, x e termo constante gera-se o sistema
A + B + C = 2, -,A - 5B + 2C = 41, -12A + 4B - 3C = -9

Passo 3

Resolvendo esse sistema por combinação de equações, encontra-se
A = -tfrac176, B = -tfrac5714, C = tfrac18721

Passo 4

Substituindo de volta na integral, fica
integral 2x^2+41x-9(x-1)(x+3)(x-4),dx = integrall(-tfrac1761x-1 - tfrac57141x+3 + tfrac187211x-4r),dx

Passo 5

Usamos a fórmula
integral dxx-a = lnlvert x-arvert
Logo,
-tfrac176integraldxx-1 = -tfrac176lnlvert x-1rvert, -tfrac5714integraldxx+3 = -tfrac5714lnlvert x+3rvert,
tfrac18721integraldxx-4 = tfrac18721lnlvert x-4rvert

Passo 6

Somando esses termos e acrescentando a constante de integração C, obtemos a antiderivada geral.

Resposta

-tfrac176lnlvert x-1rvert -tfrac5714lnlvert x+3rvert +tfrac18721lnlvert x-4rvert + C

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