Calcule as seguintes integrais:
integral 5 x^2+6 x+9(x-3)^2(x+1)^2 d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral 5x^2+6x+9(x-3)^2(x+1)^2,dx
O conteúdo aqui é decomposição em frações parciais de função racional. Vamos escrever essa função como soma de termos simples em (x-3) e (x+1) e depois integrar cada pedaço.

Passo 2

Proponho a seguinte decomposição em frações parciais:
5x^2+6x+9(x-3)^2(x+1)^2 = Ax-3 + B(x-3)^2 + Cx+1 + D(x+1)^2
Multiplicando ambos os lados por (x-3)^2(x+1)^2, obtemos a identidade
5x^2+6x+9 = A,(x-3),(x+1)^2;+;B,(x+1)^2;+;C,(x+1),(x-3)^2;+;D,(x-3)^2

Passo 3

Agora vamos comparar coeficientes de potências de x. Da expansão vem o sistema
x^3:& A + C = 0, x^2:& -A + B -5C + D = 5, x^1:& -5A +2B +3C -6D = 6, x^0:& -3A + B +9C +9D = 9

Passo 4

Da primeira equação segue C=-A. Substituindo nas demais e resolvendo, achamos
A=0, B=tfrac92, C=0, D=tfrac12

Passo 5

Substituindo esses valores na decomposição, a integral fica
integral 5x^2+6x+9(x-3)^2(x+1)^2,dx = integral l(92(x-3)^2 + 12(x+1)^2r),dx = 92integral (x-3)^-2,dx + 12integral (x+1)^-2,dx
Como
integral (x-a)^-2,dx = -(x-a)^-1,
temos
integral 5x^2+6x+9(x-3)^2(x+1)^2,dx = -92(x-3) - 12(x+1) + C

Resposta

-92(x-3) ;-;12(x+1) ;+; C

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