Calcule as seguintes integrais:
integral d xx^4+x^2+1;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral dxx^4+x^2+1
O conteúdo principal é integração de função racional por frações parciais, usando fatoração do denominador em quadráticas irreduzíveis e depois integrais de forma integral 2xpm1x^2pm x+1,dx e integraldxx^2pm x+1.

Passo 2

Fatoramos o denominador como produto de duas quadráticas:
x^4+x^2+1 = (x^2+x+1),(x^2-x+1)

Passo 3

Procuramos constantes A,B,C,D tais que
1x^4+x^2+1 =Ax+Bx^2+x+1+Cx+Dx^2-x+1

Passo 4

Multiplicando por (x^2+x+1)(x^2-x+1) e igualando coeficientes obtém-se o sistema
A + C = 0, -,A + B + C + D = 0, A - B + C + D = 0, B + D = 1
Dessa forma encontra-se
A=tfrac12, B=tfrac12, C=-tfrac12, D=tfrac12

Passo 5

Logo
1x^4+x^2+1 =tfrac12 x+tfrac12x^2+x+1 +-tfrac12 x+tfrac12x^2-x+1
Assim a integral se separa em
integraltfrac12 x+tfrac12x^2+x+1,dx +integral-tfrac12 x+tfrac12x^2-x+1,dx

Passo 6

Em cada parcela escrevemos o numerador como derivada do denominador mais constante. Por exemplo, em x^2+x+1 temos ddx(x^2+x+1)=2x+1, e
tfrac12 x+tfrac12 =tfrac14(2x+1)+tfrac14
Análogo para x^2-x+1. Isso leva a integrais do tipo integral2xpm1x^2pm x+1dx=ln(x^2pm x+1) e integraldx(xpmtfrac12)^2+(tfracraiz32)^2 =2raiz3arctan!l(tfrac2xpm1raiz3r).

Passo 7

Juntando tudo e simplificando obtemos
integraldxx^4+x^2+1 =14ln!l(x^2+x+1x^2-x+1r) +12raiz3l[ arctan!l(tfrac2x+1raiz3r) +arctan!l(tfrac2x-1raiz3r) r] +C

Resposta

boxed integral dxx^4+x^2+1 =14ln!l(x^2+x+1x^2-x+1r) +12raiz3l[ arctan!l(tfrac2x+1raiz3r) +arctan!l(tfrac2x-1raiz3r) r] +C

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