Calcule as seguintes integrais:
integral d x(x+1)(x+2)(x+3);

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integraldx(x+1)(x+2)(x+3). Isso é uma função racional, e a técnica mais direta aqui é usar decomposição em frações parciais para transformar em somas de termos do tipo 1/(x+a), cuja antiderivada é ln|x+a|.

Passo 2

Começamos assumindo que existe uma decomposição
1(x+1)(x+2)(x+3) = Ax+1 + Bx+2 + Cx+3
Para encontrar A, B e C multiplicamos ambos os lados por (x+1)(x+2)(x+3) e em seguida escolhemos valores convenientes de x:
- Para x=-1: 1 = A,(1)(2) então A=tfrac12.
- Para x=-2: 1 = B,(-1)(1) então B=-1.
- Para x=-3: 1 = C,(-2)(-1) então C=tfrac12.

Passo 3

Com esses coeficientes, reescrevemos a integral como soma de termos simples:
integraldx(x+1)(x+2)(x+3) = 12integraldxx+1 - integraldxx+2 + 12integraldxx+3
Cada parte é uma integral do tipo integraldxx+a=ln|x+a|+C. Assim,
12ln|x+1| - ln|x+2| + 12ln|x+3| + C
Para ficar mais elegante, podemos agrupar os logaritmos:
12lnl|(x+1)(x+3)r| - lnl|(x+2)^2r| + C = 12ln|(x+1)(x+3)(x+2)^2| + C

Resposta

12ln|(x+1)(x+3)(x+2)^2| + C

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