Resolva o problema de valor inicial.
y^prime=x+y, y(0)=1

Passo 1

Temos o problema de valor inicial dado por y' = x + y com condição y(0)=1. Esse é um caso de equação diferencial linear de primeira ordem, e vamos usar o método do fator integrante para resolver.
Primeiro, colocamos a equação na forma padrão y' + P(x),y = Q(x). Aqui fica:
y' - y = x
Comparando, vemos que P(x) = -1 e Q(x) = x. Para a equação linear, precisamos do fator integrante mu(x)=e^integral P(x),dx.

Passo 2

Calculamos o fator integrante:
mu(x) = e^integral (-1),dx = e^-x

Passo 3

Multiplicamos toda a equação padrão por mu(x):
e^-xy' - e^-xy = x,e^-x

Passo 4

O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto y,e^-x. Logo,
ddxl(y,e^-xr) = x,e^-x

Passo 5

Agora integramos ambos os lados em relação a x.
y,e^-x = integral x,e^-x,dx

Passo 6

Para a integral integral x e^-xdx, usamos integração por partes com u=x e dv=e^-xdx:
integral x e^-xdx = -x e^-x - e^-x + C = -(x+1)e^-x + C

Passo 7

Então
y,e^-x = -(x+1)e^-x + C Longrightarrow y = -(x+1) + C e^x

Passo 8

Finalmente, aplicamos a condição inicial y(0)=1:
1 = -(0+1) + C e^0 = -1 + C implies C = 2

Passo 9

Portanto, a solução do problema é:
y(x) = 2e^x - x - 1

Resposta

y(x) = 2e^{x} - x - 1

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