Resolva o problema de valor inicial.
Passo 1
Temos o problema de valor inicial dado por
com condição
. Esse é um caso de equação diferencial linear de primeira ordem, e vamos usar o método do fator integrante para resolver.
Primeiro, colocamos a equação na forma padrão . Aqui fica:
Primeiro, colocamos a equação na forma padrão
Comparando, vemos que
Passo 2
Calculamos o fator integrante:
Passo 3
Multiplicamos toda a equação padrão por
:
Passo 4
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
. Logo,
Passo 5
Agora integramos ambos os lados em relação a
.
Passo 6
Para a integral
, usamos integração por partes com
e
:
Passo 7
Então
Passo 8
Finalmente, aplicamos a condição inicial
:
Passo 9
Portanto, a solução do problema é:
Resposta
y(x) = 2e^{x} - x - 1