Mostre que todas as soluções da equação diferencial
tendem a um limite quando
e encontre o valor desse limite.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do tipo
. Isso faz parte do conteúdo de equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver esse tipo de equação e mostrar que todas as soluções tendem a um limite quando
vai para o infinito, vamos usar o fator integrante. Basicamente, precisamos encontrar uma função que nos ajude a simplificar a equação e facilitar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os componentes da nossa equação diferencial:
Aqui,
e
.
O próximo passo é encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Passo 3
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
Isso simplifica para:
Passo 4
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
Do lado esquerdo, a integral da derivada é simplesmente:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
A integral do lado direito,
, não tem uma solução em termos de funções elementares. No entanto, para encontrar o limite quando
, não precisamos resolver explicitamente essa integral.
Rearranjando a equação para
:
Passo 6
Agora, vamos analisar o comportamento de
quando
.
Note que
tende a 0 muito rapidamente à medida que
cresce. Mesmo que a integral
cresça, multiplicar por
faz com que todo o termo vá para 0.
Além disso, a constante
multiplicada por
também tende a 0.
Resposta
Portanto, todas as soluções da equação diferencial
tendem ao limite zero quando
.