Mostre que todas as soluções da equação diferencial y^prime+t y=2 tendem a um limite quando t infty e encontre o valor desse limite.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do tipo y' + t y = 2 . Isso faz parte do conteúdo de equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver esse tipo de equação e mostrar que todas as soluções tendem a um limite quando t vai para o infinito, vamos usar o fator integrante. Basicamente, precisamos encontrar uma função que nos ajude a simplificar a equação e facilitar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os componentes da nossa equação diferencial:
y' + P(t) y = Q(t)
Aqui, P(t) = t e Q(t) = 2 .
O próximo passo é encontrar o fator integrante mu(t) , que é dado por:
mu(t) = e^integral P(t) dt = e^integral t dt = e^t^22

Passo 3

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante mu(t) :
e^t^22 y' + t e^t^22 y = 2 e^t^22
Isso simplifica para:
ddt ( e^t^22 y ) = 2 e^t^22

Passo 4

Agora, integramos ambos os lados em relação a t :
integral ddt ( e^t^22 y ) dt = integral 2 e^t^22 dt
Do lado esquerdo, a integral da derivada é simplesmente:
e^t^22 y = integral 2 e^t^22 dt + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 5

A integral do lado direito, integral 2 e^t^22 dt , não tem uma solução em termos de funções elementares. No entanto, para encontrar o limite quando t infty , não precisamos resolver explicitamente essa integral.
Rearranjando a equação para y :
y = e^-t^22 ( integral 2 e^t^22 dt + C )

Passo 6

Agora, vamos analisar o comportamento de y quando t infty .
Note que e^-t^22 tende a 0 muito rapidamente à medida que t cresce. Mesmo que a integral integral 2 e^t^22 dt cresça, multiplicar por e^-t^22 faz com que todo o termo vá para 0.
Além disso, a constante C multiplicada por e^-t^22 também tende a 0.

Resposta

Portanto, todas as soluções da equação diferencial y' + t y = 2 tendem ao limite zero quando t infty .

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