Calcule as seguintes integrais:
integral x^4(ln x)^2 d x;

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
integral x^4(ln x)^2,dx
O conteúdo necessário é o método de integração por partes, que se baseia na fórmula
integral u,dv = u,v - integral v,du

Passo 2

Escolhemos
u = (ln x)^2, dv = x^4,dx,
então
du = 2,ln xx,dx, v = x^55
Aplicando a fórmula de partes:
integral x^4(ln x)^2,dx = x^55(ln x)^2 - integral x^55cdot 2,ln xx,dx = x^55(ln x)^2 - 25integral x^4ln x,dx

Passo 3

Agora precisamos calcular
I1 = integral x^4ln x,dx
De novo por partes, com
u = ln x, dv = x^4,dx
vem
du = 1x,dx, v = x^55
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I1 = x^55ln x - integral x^55cdot1x,dx = x^55ln x - 15integral x^4,dx = x^55ln x - x^525

Passo 4

Substituindo I1 na expressão de integral x^4(ln x)^2dx:
integral x^4(ln x)^2,dx = x^55(ln x)^2 - 25l(x^55ln x - x^525r)
= x^55(ln x)^2 - 2x^525ln x + 2x^5125 + C

Resposta

boxed integral x^4(ln x)^2,dx = x^55(ln x)^2 - 2x^525ln x + 2x^5125 + C

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