Nos Problemas 1-18, use a Definição 7.1.1 para determinar Lf(t).
f(t)=t cos t

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de f(t)=tcos t usando a definição
Lf(t)=integral0^inftye^-stf(t),dt
Vamos aplicar integração por partes e usar, quando conveniente, as transformadas conhecidas de cos t e sin t.

Passo 2

Escrevemos diretamente a integral pela definição:
Ltcos t =integral0^inftye^-st,tcos t,dt

Passo 3

Aplicamos integração por partes escolhendo
u = t, dv = e^-stcos t,dt
Então
du = dt, v = integral e^-stcos t,dt
Para achar v usamos o resultado
integral e^atcos(bt),dt =e^atl(acos(bt)+bsin(bt)r)a^2+b^2,
com a=-s e b=1. Logo
v = e^-stl(-scos t + sin tr)s^2+1

Passo 4

Pela fórmula de partes em [0,infty):
integral0^inftytcos t,e^-stdt =l[t,vr]0^infty -integral0^inftyv,du
Como v=O(e^-st), o termo de fronteira lt,vr|0^infty=0. Resta então
Ltcos t =-integral0^inftye^-stl(-scos t+sin tr)s^2+1,dt =1s^2+1integral0^inftye^-stl(scos t-sin tr),dt

Passo 5

Separamos a integral em duas partes:
Ltcos t =ss^2+1integral0^inftye^-stcos t,dt -1s^2+1integral0^inftye^-stsin t,dt
Sabemos que, para Re(s)>0,
integral0^inftye^-stcos t,dt=ss^2+1, integral0^inftye^-stsin t,dt=1s^2+1

Passo 6

Substituindo esses resultados:
Ltcos t =ss^2+1cdotss^2+1 -1s^2+1cdot1s^2+1 =s^2(s^2+1)^2-1(s^2+1)^2

Passo 7

Por fim, somando termos sobre o mesmo denominador:
Ltcos t =s^2-1(s^2+1)^2

Resposta

Ltcos t =s^2-1(s^2+1)^2

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