Utilize a definição para mostrar que lim x 5 x^2=25.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
limxto5x^2 = 25
usando a definição de limite: para todo varepsilon>0 encontramos de<a>0 tal que, se 0<|x-5|<de<a, então |x^2-25|<varepsilon.

Passo 2

Começamos fatorando a diferença de quadrados:
|x^2 - 25| = |x-5|,|x+5|
Para controlar o fator |x+5|, imponha que
|x-5|<1
Isso garante que 4<x<6 e, portanto,
|x+5|<= 6+5 = 11
Assim, sempre que |x-5|<1 temos
|x^2-25| = |x-5|,|x+5| < 11,|x-5|

Passo 3

Dado varepsilon>0, escolha
de<a = minl1,;tfracvarepsilon11r
Então, se 0<|x-5|<de<a, temos simultaneamente |x-5|<1 e
|x^2-25| < 11,|x-5| < 11cdotvarepsilon11 = varepsilon

Resposta

Pelo critério varepsilon- de<a, concluímos que
limxto5x^2 = 25

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