Utilize a definição para mostrar que lim x 3(x^2-4)=5.

Passo 1

O enunciado pede para provar, usando a definição formal de limite, que
limxto3l(x^2-4r)=5
Ou seja, precisamos mostrar que para todo varepsilon>0 existe de<a>0 tal que, sempre que 0<|x-3|<de<a, temos
l|(x^2-4)-5r|<varepsilon

Passo 2

Começamos manipulando a diferença que queremos controlar:
l|(x^2-4)-5r| =l|x^2-9r| =l|x-3r|;l|x+3r|

Passo 3

Para usar o fator l|x-3r| na nossa escolha de de<a, precisamos limitar l|x+3r| por um número fixo. Escolhemos, por exemplo, exigir
|x-3|<1
Isso implica |x-3|<1implies|x|<4, logo
|x+3|<=|x|+3<4+3=7
Assim, sempre que |x-3|<1 vale
l|(x^2-4)-5r| =l|x-3r|;l|x+3r| <7,|x-3|

Passo 4

Queremos que l|(x^2-4)-5r|<varepsilon. Pelo passo anterior basta garantir
7,|x-3|<varepsilon Long<=ftrightarrow |x-3|<varepsilon7
Portanto, escolhendo
de<a=min!l1,;varepsilon7r,
garantimos simultaneamente |x-3|<1 e |x-3|<varepsilon/7. Logo, se 0<|x-3|<de<a, então
l|(x^2-4)-5r|<7,|x-3|<7cdotvarepsilon7=varepsilon,
completando a prova pela definição de limite.

Resposta

Foi mostrado que, dado varepsilon>0, basta tomar de<a=min1,varepsilon/7 para assegurar
l|(x^2-4)-5r|<varepsilon sempre que 0<|x-3|<de<a. Portanto
limxto3l(x^2-4r)=5

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