Utilize a definição para mostrar que
.
Passo 1
O enunciado pede para provar, usando a definição formal de limite, que
Ou seja, precisamos mostrar que para todo
existe
tal que, sempre que
, temos
Passo 2
Começamos manipulando a diferença que queremos controlar:
Passo 3
Para usar o fator
l|x-3r| na nossa escolha de
de<a , precisamos limitar
l|x+3r| por um número fixo. Escolhemos, por exemplo, exigir
Isso implica
|x-3|<1implies|x|<4 , logo
Assim, sempre que
|x-3|<1 vale
Passo 4
Queremos que
l|(x^2-4)-5r|<varepsilon . Pelo passo anterior basta garantir
Portanto, escolhendo
garantimos simultaneamente
|x-3|<1 e
|x-3|<varepsilon/7 . Logo, se
0<|x-3|<de<a , então
completando a prova pela definição de limite.
Resposta
Foi mostrado que, dado
varepsilon>0 , basta tomar
de<a=min1,varepsilon/7 para assegurar
l|(x^2-4)-5r|<varepsilon sempre que
0<|x-3|<de<a . Portanto