Calcule as seguintes integrais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Esse exercício envolve o conteúdo de integração por frações parciais, que usamos quando temos uma fração racional, ou seja, uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver, vamos precisar fatorar o denominador e expressar a fração como soma de frações mais simples.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a fração
em termos de frações parciais. Isso significa que queremos encontrar constantes
e
tais que:
Passo 3
Para encontrar os valores de
e
, vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum
:
Agora, vamos expandir e coletar termos semelhantes:
Passo 4
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
Para o termo com
:
Para o termo constante:
Passo 5
Temos um sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema. Podemos somar as duas equações para eliminar
:
Agora, substituímos
em uma das equações para encontrar
:
Passo 6
Agora que encontramos
e
, podemos reescrever a fração original:
Ou seja,
Passo 7
Agora, podemos integrar cada termo separadamente:
Para integrar
, sabemos que é
. Mas precisamos levar em conta o coeficiente de
no denominador.
Passo 8
Primeiro, a integral de
:
Agora, a integral de
. Vamos fazer uma substituição simples: seja
, então
ou
.
Resposta
Juntando as integrais, temos:
Onde
é a constante de integração.