Calcule as seguintes integrais:
(1,3 pt) integral x+5(x-1)(2 x+1) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral x+5(x-1)(2x+1) dx. Esse exercício envolve o conteúdo de integração por frações parciais, que usamos quando temos uma fração racional, ou seja, uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver, vamos precisar fatorar o denominador e expressar a fração como soma de frações mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a fração x+5(x-1)(2x+1) em termos de frações parciais. Isso significa que queremos encontrar constantes A e B tais que:
x+5(x-1)(2x+1) = Ax-1 + B2x+1

Passo 3

Para encontrar os valores de A e B, vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum (x-1)(2x+1):
x + 5 = A(2x + 1) + B(x - 1)
Agora, vamos expandir e coletar termos semelhantes:
x + 5 = (2A + B)x + (A - B)

Passo 4

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
Para o termo com x:
1 = 2A + B
Para o termo constante:
5 = A - B

Passo 5

Temos um sistema de equações:
2A + B = 1 A - B = 5
Vamos resolver esse sistema. Podemos somar as duas equações para eliminar B:
2A + B + A - B = 1 + 5 3A = 6 A = 2
Agora, substituímos A = 2 em uma das equações para encontrar B:
2(2) + B = 1 4 + B = 1 B = 1 - 4 B = -3

Passo 6

Agora que encontramos A = 2 e B = -3, podemos reescrever a fração original:
x+5(x-1)(2x+1) = 2x-1 + -32x+1
Ou seja,
x+5(x-1)(2x+1) = 2x-1 - 32x+1

Passo 7

Agora, podemos integrar cada termo separadamente:
integral 2x-1 dx - integral 32x+1 dx
Para integrar 1x - a, sabemos que é ln|x - a|. Mas precisamos levar em conta o coeficiente de x no denominador.

Passo 8

Primeiro, a integral de 2x - 1:
2 integral 1x - 1 dx = 2 ln|x - 1|
Agora, a integral de 32x + 1. Vamos fazer uma substituição simples: seja u = 2x + 1, então du = 2 dx ou dx = du2.
3 integral 12x + 1 dx = 3 integral 1u cdot du2 = 32 ln|u| = 32 ln|2x + 1|

Resposta

Juntando as integrais, temos:
integral x+5(x-1)(2x+1) dx = 2 ln|x - 1| - 32 ln|2x + 1| + C
Onde C é a constante de integração.

Exercícios relacionados