Use o cálculo para encontrar os valores máximo e mínimo exatos.
f(x)=x^5-x^3+2,-1 <= x <= 1

Passo 1

Temos a função
f(x)=x^5-x^3+2
definida em [-1,1]. Para achar máximos e mínimos num intervalo fechado, vamos usar cálculo:
  1. Calcular a derivada f'(x).
  2. Encontrar os pontos críticos resolvendo f'(x)=0.
  3. Avaliar f nos pontos críticos e nas extremidades x=-1 e x=1.
  4. Comparar esses valores para determinar o valor mínimo e máximo globais.

Passo 2

Derivando,
f'(x)=5x^4-3x^2=x^2l(5x^2-3r)
Para achar pontos críticos, igualamos a zero:
x^2(5x^2-3)=0 Longrightarrow x=0 ou 5x^2-3=0;Longrightarrow;x=pmraiztfrac35

Passo 3

Agora avaliamos f em x=-1, x=1, x=0 e x=pmraiztfrac35.
  1. Em x=pm1:
f(1)=1^5-1^3+2=2, f(-1)=(-1)^5-(-1)^3+2=2
  1. Em x=0:
f(0)=0^5-0^3+2=2
  1. Em x=raiztfrac35:
fl(raiztfrac35r) =l(tfrac35r)^5/2 -l(tfrac35r)^3/2+2 =2-25l(tfrac35r)^3/2 =2-6raiz15125
  1. Em x=-raiztfrac35:
fl(-raiztfrac35r) =-l(tfrac35r)^5/2 +l(tfrac35r)^3/2+2 =2+25l(tfrac35r)^3/2 =2+6raiz15125

Passo 4

Comparando os valores
2-6raiz15125approx1,81, 2, 2+6raiz15125approx2,19,
vemos que o mínimo global ocorre em x=raiztfrac35 e o máximo global ocorre em x=-raiztfrac35.

Resposta

Valor mínimo:
fl(raiztfrac35r) =2-6raiz15125
Valor máximo:
fl(-raiztfrac35r) =2+6raiz15125

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