Questão 4

Ainda não respondida Vale 1,00 ponto(s).
Determine a equação do plano que passa pelo ponto (1, 12, 14) e
determina com os planos coordenados um tetraedro de volume mínimo.
O valor do volume do tetraedro é igual a:
Resposta:
Resposta

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a equação de um plano que passa pelo ponto (1, 12, 14) e que, juntamente com os planos coordenados (os planos xy, xz e yz), forma um tetraedro de volume mínimo. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre equações de planos e cálculo de volumes de tetraedros.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação geral de um plano pode ser escrita na forma interceptativa:
xa + yb + zc = 1
Aqui, a, b e c são os pontos onde o plano intercepta os eixos x, y e z, respectivamente.

Passo 3

Como o plano passa pelo ponto (1, 12, 14), vamos substituir esses valores na equação do plano para encontrar uma relação entre a, b e c:
1a + 12b + 14c = 1
Simplificando:
1a + 12b + 14c = 1

Passo 4

Agora, precisamos expressar o volume do tetraedro formado pelos interceptos com os planos coordenados. A fórmula do volume V de um tetraedro com interceptos a, b e c é:
V = a cdot b cdot c6
Nosso objetivo é minimizar esse volume V sujeito à condição que encontramos na etapa anterior.

Passo 5

Para minimizar V = a cdot b cdot c6 com a restrição 1a + 12b + 14c = 1, podemos usar métodos de otimização, como o uso de multiplicadores de Lagrange. Porém, para simplificar, vamos assumir que a, b e c são proporcionais entre si.
Vamos supor que a = k, b = k2 e c = k4. Substituindo na restrição:
1k + 12 cdot k2 + 14 cdot k4 = 1k + 1k + 1k = 3k = 1 implies k = 3
Então, temos:
a = 3, b = 32, c = 34

Passo 6

Agora, vamos calcular o volume mínimo:
V = a cdot b cdot c6 = 3 cdot 32 cdot 346 = 2748 = 916

Resposta

O volume mínimo do tetraedro é igual a 916.

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