Questão 4
Ainda não respondida Vale 1,00 ponto(s).
Determine a equação do plano que passa pelo ponto
e
determina com os planos coordenados um tetraedro de volume mínimo.
O valor do volume do tetraedro é igual a:
Resposta:
Resposta
determina com os planos coordenados um tetraedro de volume mínimo.
Resposta
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a equação de um plano que passa pelo ponto
e que, juntamente com os planos coordenados (os planos
,
e
), forma um tetraedro de volume mínimo. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre equações de planos e cálculo de volumes de tetraedros.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a equação geral de um plano pode ser escrita na forma interceptativa:
Aqui,
,
e
são os pontos onde o plano intercepta os eixos
,
e
, respectivamente.
Passo 3
Como o plano passa pelo ponto
, vamos substituir esses valores na equação do plano para encontrar uma relação entre
,
e
:
Simplificando:
Passo 4
Agora, precisamos expressar o volume do tetraedro formado pelos interceptos com os planos coordenados. A fórmula do volume
de um tetraedro com interceptos
,
e
é:
Nosso objetivo é minimizar esse volume
sujeito à condição que encontramos na etapa anterior.
Passo 5
Para minimizar
com a restrição
, podemos usar métodos de otimização, como o uso de multiplicadores de Lagrange. Porém, para simplificar, vamos assumir que
,
e
são proporcionais entre si.
Vamos supor que
,
e
. Substituindo na restrição:
Então, temos:
Passo 6
Agora, vamos calcular o volume mínimo:
Resposta
O volume mínimo do tetraedro é igual a
.