Considere a função f(x)=l-x, se x<-1 x^2-x-2, se x >=-1
Calcule integral-3^3 f(x) d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que calcular a integral definida de uma função que muda de expressão dependendo do valor de x . Isso envolve conceitos de funções por partes e integração definida. A gente vai precisar dividir a integral de acordo com onde a função muda de expressão e então integrar cada parte separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde a função [f(x)) muda de expressão. Olhando para o enunciado:
A função muda de expressão em até , precisamos dividir essa integral em duas partes: de até e de até .

Passo 3

Escrevemos a integral original como a soma dessas duas integrais:
integral-3^3 f(x) , dx = integral-3^-1 (-x) , dx + integral-1^3 (x^2 - x - 2) , dx

Passo 4

Vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente. Começando pela primeira:
integral-3^-1 (-x) , dx
A antiderivada de -x é -x^22 . Então:
[ -x^22 ]-3^-1 = -(-1)^22 - ( -(-3)^22 ) = -12 - ( -92 ) = -12 + 92 = 82 = 4

Passo 5

Agora, a segunda integral:
integral-1^3 (x^2 - x - 2) , dx
Vamos encontrar a antiderivada de cada termo individualmente:
  • A antiderivada de x^2 é x^33
  • A antiderivada de -x é -x^22
  • A antiderivada de -2 é -2x
Então, a antiderivada completa é:
x^33 - x^22 - 2x
Agora, avaliamos de -1 a 3 :
[ x^33 - x^22 - 2x ]-1^3 = ( 3^33 - 3^22 - 2 times 3 ) - ( (-1)^33 - (-1)^22 - 2 times (-1) )
Calculando cada parte:
Para x = 3 :
273 - 92 - 6 = 9 - 4.5 - 6 = -1.5
Para x = -1 :
-13 - 12 + 2 = -13 - 12 + 2 = -56 + 2 = 76
Então:
-1.5 - 76 = -1.5 - 116 = -266
Convertendo para fração:
- 83

Resposta

Somando as duas integrais:
4 + ( -83 ) = 123 - 83 = 43
Portanto, o valor da integral integral-3^3 f(x) , dx é 43 .

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