Usando substituição trigonométrica calcule integral 1x^2 raizx^2+9 d x.

Passo 1

O enunciado pede calcular
integral 1x^2raizx^2+9,dx
usando substituição trigonométrica. Vamos usar a substituição
x = 3tantheta
para transformar raiz e diferencial.

Passo 2

Com x=3tantheta temos
dx = 3sec^2theta,dtheta,
e
raizx^2+9 = raiz9tan^2theta+9 = 3sectheta,
além de
x^2 = 9tan^2theta

Passo 3

Substituindo na integral original,
integral 1x^2raizx^2+9,dx = integral 19tan^2theta ,cdot 3sectheta,l(3sec^2theta,dthetar)
Isso simplifica para
19integral secthetatan^2theta,dtheta e, como secthetatan^2theta = cottheta,csctheta,
ficamos com
19integral cottheta,csctheta,dtheta

Passo 4

Sabendo que
ddthetal(cscthetar) = -cottheta,csctheta,
temos
integral cottheta,csctheta,dtheta = -csctheta + C
Logo a primitiva em theta é
-19,csctheta + C

Passo 5

Voltemos a x. Como tantheta = x3, no triângulo retângulo correspondente
sintheta = xraizx^2+9 Longrightarrow csctheta = raizx^2+9x
Substituindo,
-19,csctheta + C = -19,raizx^2+9x + C

Resposta

-raizx^2+99,x + C

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