Verifique se a equação dada é exata. Se for, resolva.
((e^{y}+2 x y cosh x) y^{\prime}+x y^{2} senh x
+y^{2} cosh x=0)

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
l(e^y+2xycosh xr),y' ;+;x y^2sinh x;+;y^2cosh x ;=;0
Aqui vamos usar o método de equações exatas: reescrevemos na forma
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0,
checamos se partial M/partial y = partial N/partial x e, sendo exata, buscamos uma potencial phi(x,y) tal que phix=M e phiy=N.

Passo 2

Multiplicando ambos os lados por dx, obtemos
l(x y^2sinh x + y^2cosh xr),dx ;+;l(e^y+2xycosh xr),dy=0
Logo, identificamos
M(x,y)=x y^2sinh x + y^2cosh x, N(x,y)=e^y+2xycosh x

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y =2yl(xsinh x+cosh xr),
partial Npartial x =2ycosh x +2xysinh x =2yl(cosh x + xsinh xr)
Como partial M/partial y = partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 4

Buscamos phi(x,y) tal que phix=M. Integramos M em relação a x:
phi(x,y) =integral l(xy^2sinh x + y^2cosh xr),dx =y^2integrall(xsinh x+cosh xr),dx
Observando que tfracddx(xcosh x)=cosh x + xsinh x, concluímos
phi(x,y)=y^2,xcosh x + h(y),
onde h(y) é função a determinar.

Passo 5

Agora exigimos phiy=N. Calculamos
phiy =partialpartial yl(y^2xcosh x + h(y)r) =2xycosh x + h'(y),
que deve ser igual a N=e^y+2xycosh x. Daí
h'(y)=e^y Longrightarrow h(y)=e^y+C
Portanto
phi(x,y)=x y^2cosh x + e^y,
e a solução implícita é phi(x,y)=constante.

Resposta

x y^2cosh x + e^y = C

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