Verifique se a equação dada é exata. Se for, resolva.
((e^{y}+2 x y cosh x) y^{\prime}+x y^{2} senh x
+y^{2} cosh x=0)
((e^{y}+2 x y cosh x) y^{\prime}+x y^{2} senh x
+y^{2} cosh x=0)
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
Aqui vamos usar o método de equações exatas: reescrevemos na forma
checamos se
e, sendo exata, buscamos uma potencial
tal que
e
.
Passo 2
Multiplicando ambos os lados por
, obtemos
Logo, identificamos
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Passo 4
Buscamos
tal que
. Integramos
em relação a
:
Observando que
, concluímos
onde
é função a determinar.
Passo 5
Agora exigimos
. Calculamos
que deve ser igual a
. Daí
Portanto
e a solução implícita é
.