Calcule as seguintes integrais
integral x^3+x^2+2 x+1(x^2+1)(x^2+2) d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida da função racional
integral x^3+x^2+2x+1(x^2+1)(x^2+2),dx
O conteúdo principal é decomposição em frações parciais, seguido dos integrais padrões
integral xx^2+a,dx e integral 1x^2+a,dx.

Passo 2

Fazemos a decomposição em frações parciais supondo constantes A,B,C,D tais que
x^3+x^2+2x+1(x^2+1)(x^2+2) =Ax+Bx^2+1+Cx+Dx^2+2
Multiplicando ambos os lados por (x^2+1)(x^2+2) obtemos
x^3+x^2+2x+1 =(Ax+B)(x^2+2)+(Cx+D)(x^2+1)
Expandindo,
(Ax+B)(x^2+2)=A x^3+B x^2+2A x+2B,
(Cx+D)(x^2+1)=C x^3+D x^2+C x+D,
logo a soma dá
(A+C)x^3+(B+D)x^2+(2A+C)x+(2B+D)

Passo 3

Igualando coeficientes a
Da primeira e terceira equações .
Da segunda e quarta , logo .
Assim a decomposição fica

Passo 4

Agora integramos termo a termo:
  1. integral xx^2+1,dx.
    Basta ver que ddx(x^2+1)=2x, então integral xx^2+1,dx =12integral 2xx^2+1,dx =12lnl(x^2+1r)
  2. integral 1x^2+2,dx.
    Como 2=(raiz2)^2, usamos integral 1x^2+a^2,dx =1aarctan!l(tfracxar), com a=raiz2. Logo integral 1x^2+2,dx =1raiz2arctan!l(xraiz2r)

Passo 5

Somando os resultados e incluindo a constante de integração C, obtemos
integral x^3+x^2+2x+1(x^2+1)(x^2+2),dx =12lnl(x^2+1r) +1raiz2arctan!l(xraiz2r) + C

Resposta

boxed 12lnl(x^2+1r) +1raiz2arctan!l(xraiz2r) + C

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