Questảo 3 (valor: 2.5):
Calcule a área e o comprimento do arco do laço da curva definida por:
Passo 1
O enunciado define a curva paramétrica
e pede a área do laço fechado (onde a curva se autointersecta) e o comprimento desse mesmo laço. Vamos usar dois resultados clássicos de Cálculo em curvas paramétricas:
- A área
encerrada por um laço é
- O comprimento
da curva é
Precisamos primeiro encontrar os valores
que determinam o laço.
Passo 2
Para achar onde ocorre a autointerseção, resolvemos
Da igualdade
vem
, ou seja
. Em seguida impomos
para que
. Essa equação dá
O ponto não-trivial de autointerseção está em
e
, produzindo o mesmo ponto
. Logo o laço corresponde a
.
Passo 3
Calculamos a área pelo integral de Green (ou fórmula paramétrica):
Então
Passo 4
Agora o comprimento:
Portanto
Resposta
Área do laço:
.
Comprimento do laço: .
Comprimento do laço: