Questảo 3 (valor: 2.5):
Calcule a área e o comprimento do arco do laço da curva definida por:
l x=-(t^wed>= 3) / 3+t y=t^wed>= 2-1

Passo 1

O enunciado define a curva paramétrica
x(t)=-t^33+t, y(t)=t^2-1
e pede a área do laço fechado (onde a curva se autointersecta) e o comprimento desse mesmo laço. Vamos usar dois resultados clássicos de Cálculo em curvas paramétricas:
  1. A área A encerrada por um laço é
A=12integralt1^t2l(x,y'-y,x'r),dt
  1. O comprimento L da curva é
L=integralt1^t2raizl(x'r)^2+l(y'r)^2,dt
Precisamos primeiro encontrar os valores t1<t2 que determinam o laço.

Passo 2

Para achar onde ocorre a autointerseção, resolvemos
y(t1)=y(t2)e x(t1)=x(t2), t1neq t2
Da igualdade y(t1)=y(t2) vem t1^2=t2^2, ou seja t2=-t1. Em seguida impomos
x(t)= -t^33+t=0
para que x(t)=x(-t). Essa equação dá
tl(t^2/3-1r)=0Longrightarrow t=0ou t=pmraiz3
O ponto não-trivial de autointerseção está em t1=-raiz3 e t2=+raiz3, produzindo o mesmo ponto (0,2). Logo o laço corresponde a tin[-raiz3,raiz3].

Passo 3

Calculamos a área pelo integral de Green (ou fórmula paramétrica):
x'(t)=1-t^2, y'(t)=2t,
x,y' - y,x'= l(-tfract^33+tr),2t - (t^2-1)(1-t^2) =t^43+1
Então
A=12integral-raiz3^raiz3l(t^43+1r),dt =integral0^raiz3l(t^43+1r),dt =l[t+t^515r]0^raiz3 =8raiz35

Passo 4

Agora o comprimento:
raiz(x')^2+(y')^2 =raiz(1-t^2)^2+(2t)^2 =raizt^4+2t^2+1 =t^2+1 (para todo t)
Portanto
L=integral-raiz3^raiz3(t^2+1),dt =2integral0^raiz3(t^2+1),dt =2l[t^33+tr]0^raiz3 =4raiz3

Resposta

Área do laço: 8raiz35.
Comprimento do laço: 4raiz3.

Exercícios relacionados