Calcule as seguintes integrais
integral 5 e^2 t-e^te^2 t+3 e^t+2 d t

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
integral 5e^2t-e^te^2t+3e^t+2,dt
Isso é uma função racional em e^t. Vamos usar a substituição u=e^t para transformar em uma integral de razões de polinômios em u.

Passo 2

Fazendo u=e^t implica du=e^t,dt, ou seja dt=duu. Substituindo:
integral 5e^2t-e^te^2t+3e^t+2,dt =integral 5u^2 - uu^2 + 3u + 2,duu =integral 5u^2 - uu,(u^2+3u+2),du =integral 5u-1u^2+3u+2,du

Passo 3

Para integrar 5u-1u^2+3u+2, fazemos frações parciais no denominador fatorado u^2+3u+2=(u+1)(u+2):
5u-1(u+1)(u+2)=Au+1+Bu+2
Multiplicando ambos os lados por (u+1)(u+2), obtemos
5u-1 = A(u+2)+B(u+1) = (A+B)u + (2A+B)
Igualando coeficientes:
A+B=5, 2A+B=-1 Longrightarrow A=-6,;B=11
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5u-1u^2+3u+2 =-6u+1+11u+2

Passo 4

Integramos termo a termo:
integral 5u-1u^2+3u+2,du =integral l(-6u+1+11u+2r),du =-6ln|u+1|+11ln|u+2|+C

Passo 5

Voltando à variável t, u=e^t>0 dispensa o valor absoluto:
-6ln(e^t+1)+11ln(e^t+2)+C

Resposta

integral 5e^2t-e^te^2t+3e^t+2,dt =-6lnl(e^t+1r)+11lnl(e^t+2r)+C

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