Calcule as seguintes integrais
integral0^pi / 4 -2 sec ^2 ytan ^2 y-5 tan y+6 d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral0^pi/4 -2sec^2 ytan^2 y - 5tan y + 6,dy
Aqui vamos usar a substituição ,t=tan y, pois a derivada de tan y é sec^2 y, e isso simplifica a integral.

Passo 2

Fazendo t=tan y temos
dt = sec^2 y,dy e y=0Rightarrow t=0, y=pi/4Rightarrow t=1
Assim a integral vira
integral0^1 -2t^2 -5t +6,dt =,-2integral0^1dt(t-2)(t-3)

Passo 3

Fazemos frações parciais em
1(t-2)(t-3) =At-2+Bt-3
Temos 1=A(t-3)+B(t-2).
Tomando t=2 1=-ARightarrow A=-1.
Tomando t=3 1=BRightarrow B=1.
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1(t-2)(t-3) =-1t-2+1t-3

Passo 4

Substituindo na integral:
-2integral0^1l(-1t-2+1t-3r),dt =-2l[,-ln|t-2|+ln|t-3|r]0^1
Isso é
-2l(ln|t-3|-ln|t-2|r)gr|0^1

Passo 5

Avalia em t=1:
-2l(ln|1-3|-ln|1-2|r) =-2(ln2-0)=-2ln2
Avalia em t=0:
-2l(ln|0-3|-ln|0-2|r) =-2(ln3-ln2)=-2ln3+2ln2
Subtraindo:
(-2ln2)-l(-2ln3+2ln2r) =2ln3-4ln2 =2l(ln3-ln4r) =2ln!l(tfrac34r)

Resposta

2ln!l(tfrac34r)

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