Calcule as seguintes integrais
integral 9 x+10(x-2)^2(x^2+3) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral impropriamente racional
integral 9x+10(x-2)^2,(x^2+3),dx
Como o grau do numerador é menor que o do denominador, vamos usar decomposição em frações parciais.

Passo 2

Assumimos a forma
9x+10(x-2)^2(x^2+3) = Ax-2 + B(x-2)^2 + Cx+Dx^2+3
Multiplicando ambos os lados por (x-2)^2(x^2+3), obtemos a identidade em x:
9x+10 = A,(x-2)(x^2+3) + B,(x^2+3) + (Cx+D)(x-2)^2

Passo 3

Expandindo e agrupando termos, chegamos ao sistema linear para A,B,C,D:
A + C = 0, -2A + B -4C + D = 0, 3A +4C -4D = 9, -6A +3B +4D = 10
Resolvendo esse sistema encontra-se
A = -1, B = 4, C = 1, D = -2

Passo 4

Então
9x+10(x-2)^2(x^2+3) = -1x-2 + 4(x-2)^2 + x-2x^2+3
Logo a integral se separa em
integral -1x-2,dx ;+;integral 4(x-2)^2,dx ;+;integral xx^2+3,dx ;-;2integral 1x^2+3,dx

Passo 5

Calculamos termo a termo:
integral -1x-2,dx = -lnlvert x-2rvert,
integral 4(x-2)^2,dx =4integral (x-2)^-2dx =-4x-2,
integral xx^2+3,dx =12lnl(x^2+3r),
-2integral 1x^2+3,dx =-2cdot1raiz3arctan!l(tfracxraiz3r) =-2raiz3arctan!l(tfracxraiz3r)
Somando tudo, obtemos a antiderivada.

Resposta

-lnlvert x-2rvert -4x-2 +12lnl(x^2+3r) -2raiz3arctan!l(xraiz3r) + C

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